(Vale: 2,0) Determine a massa de um arame com formato de hélice
,
e densidade
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica do arame e a densidade em qualquer ponto e pede a massa total. Informações fornecidas:
- A parametrização é
para . - A densidade volumétrica ao longo do arame (na verdade densidade linear sobre a curva) é
.
O que se pede: calcular a massa do arame usando essas informações.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
A massa de um fio com densidade ao longo de uma curva
é dada por
A massa de um fio com densidade
Aqui
é o elemento de comprimento ao longo da curva: se a curva é parametrizada por
com
, então
onde
é a velocidade escalar
. Assim, ao parametrizar a densidade por
(ou seja, substituir
em
), a massa vira uma integral em
:
Passo 3
Escrever a parametrização como vetor e calcular derivadas.
Derivando componente a componente:
Agora a velocidade escalar:
Simplificando dentro da raiz usando
:
Portanto
. Observação útil: a velocidade é constante aqui, o que simplifica bastante a integral.
Passo 4
Substituir a densidade ao longo da curva. A densidade dada é
. Substituindo
obtemos
Passo 5
Montar a integral da massa usando os resultados anteriores:
e a densidade parametricamente é
. Assim
Tirar a constante
para fora da integral.
Passo 6
Calcular a integral
por substituição. Seja
. Então
, isto é
. Trocar os limites: quando
temos
; quando
temos
. Portanto
Inverter os limites para simplificar:
Agora calcular essa integral elementar:
Logo
Passo 7
Voltar à expressão da massa:
Esse é o valor final da massa do arame. Força: você já quase terminou a prova!