(Vale: 2,0) Determine a massa de um arame com formato de hélice x=t, y=3 \cos t, z=3 \operatorname{sen} t, 0 \leq t \leq \pi e densidade \rho(x, y, z)=y z \cos x.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica do arame e a densidade em qualquer ponto e pede a massa total. Informações fornecidas:
  • A parametrização é x=t,\; y=3\cos t,\; z=3\sin t para 0\le t\le \pi.
  • A densidade volumétrica ao longo do arame (na verdade densidade linear sobre a curva) é \rho(x,y,z)=y z \cos x.
    O que se pede: calcular a massa do arame usando essas informações.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
A massa de um fio com densidade \rho(x,y,z) ao longo de uma curva C é dada por
m=\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds.
Aqui ds é o elemento de comprimento ao longo da curva: se a curva é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) com a\le t\le b, então
ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt,
onde |\mathbf{r}'(t)| é a velocidade escalar \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}. Assim, ao parametrizar a densidade por t (ou seja, substituir x(t),y(t),z(t) em \rho), a massa vira uma integral em t:
m=\int_{a}^{b}\rho\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt.

Passo 3

Escrever a parametrização como vetor e calcular derivadas.
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))=(t,\;3\cos t,\;3\sin t).
Derivando componente a componente:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=-3\sin t,\qquad z'(t)=3\cos t.
Agora a velocidade escalar:
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{(1)^2+(-3\sin t)^2+(3\cos t)^2}.
Simplificando dentro da raiz usando \sin^2 t+\cos^2 t=1:
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{1+9\sin^2 t+9\cos^2 t}=\sqrt{1+9(\sin^2 t+\cos^2 t)}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Portanto ds=\sqrt{10}\,dt. Observação útil: a velocidade é constante aqui, o que simplifica bastante a integral.

Passo 4

Substituir a densidade ao longo da curva. A densidade dada é \rho(x,y,z)=y z \cos x. Substituindo x=t,\;y=3\cos t,\;z=3\sin t obtemos
\rho\big(x(t),y(t),z(t)\big)=(3\cos t)(3\sin t)\cos t =9\cos^2 t\sin t.

Passo 5

Montar a integral da massa usando os resultados anteriores: ds=\sqrt{10}\,dt e a densidade parametricamente é 9\cos^2 t\sin t. Assim
m=\int_{0}^{\pi} 9\cos^2 t\sin t\cdot\sqrt{10}\,dt =9\sqrt{10}\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\sin t\,dt.
Tirar a constante 9\sqrt{10} para fora da integral.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\sin t\,dt por substituição. Seja u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, isto é \sin t\,dt=-du. Trocar os limites: quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1. Portanto
\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\sin t\,dt=\int_{t=0}^{t=\pi} u^2(-du)= -\int_{u=1}^{u=-1} u^2\,du.
Inverter os limites para simplificar:
-\int_{1}^{-1} u^2\,du = \int_{-1}^{1} u^2\,du.
Agora calcular essa integral elementar:
\int_{-1}^{1} u^2\,du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Logo
\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\sin t\,dt=\frac{2}{3}.

Passo 7

Voltar à expressão da massa:
m=9\sqrt{10}\cdot\frac{2}{3}=6\sqrt{10}.
Esse é o valor final da massa do arame. Força: você já quase terminou a prova!

Resposta

6\sqrt{10}

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