(Vale: 2,0) Determine o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F}(x, y)=,y x \mathbf{i}+x \mathbf{j} ao mover uma partícula sobre a curva C que consiste em um segmento de reta que liga o ponto (3,0) ao ponto (1,2).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • O enunciado dá o campo de força \mathbf{F}(x,y)=xy\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}.
  • O enunciado dá a curva C: o segmento de reta que liga os pontos (3,0) e (1,2).
  • O que se pede: calcular o trabalho realizado pelo campo quando uma partícula se move ao longo de C. Em linguagem matemática, isso é
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Ideia do método e por que usá-lo (passo-a-passo do conceito):
  • Para calcular o trabalho usamos a integral de linha do campo ao longo da curva:
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • A forma prática é parametrizar a curva por algum \mathbf{r}(t), t variando em um intervalo [a,b], e então calcular
W=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando: \mathbf{r}(t) dá as coordenadas (x(t),y(t)) ao longo da curva; \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente (d \mathbf{r}); \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é a componente tangencial da força, e integrar dá o trabalho total.
  • Antes de parametrizar, verifico rapidamente se o campo é conservativo (caso fosse, poderíamos usar uma potencial e só avaliar nos extremos). Para um campo planar \mathbf{F}=(P,Q) com P(x,y)=xy e Q(x,y)=x, a condição de conservatividade (em um domínio simples) é \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Como x\neq 1 em geral, \partial P/\partial y\neq\partial Q/\partial x. Logo o campo NÃO é conservativo globalmente, então não dá para usar um potencial simples — precisamos parametrizar e calcular a integral diretamente.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta e cálculo do vetor velocidade:
  • Um parâmetro conveniente é t\in[0,1]. A parametrização do segmento que vai de (3,0) (quando t=0) a (1,2) (quando t=1) é
\mathbf{r}(t)=(3,0)+t\big((1,2)-(3,0)\big)=(3-2t,\;2t).
  • Então
x(t)=3-2t,\qquad y(t)=2t.
  • Derivando,
\mathbf{r}'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big)=(-2,\;2).

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} ao longo da parametrização e formar o produto escalar:
  • Substituindo x(t) e y(t) em \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\big(x(t)\,y(t),\;x(t)\big)=\big((3-2t)(2t),\;3-2t\big).
  • Simplificando o primeiro componente:
(3-2t)(2t)=6t-4t^{2}.
Portanto
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\big(6t-4t^{2},\;3-2t\big).
  • O produto escalar com \mathbf{r}'(t)=(-2,2) é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=(6t-4t^{2})(-2)+(3-2t)(2).
  • Calcule termo a termo:
(6t-4t^{2})(-2)=-12t+8t^{2},
(3-2t)(2)=6-4t.
Somando,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=8t^{2}-16t+6.

Passo 5

Calcular a integral de t=0 a t=1:
  • O trabalho é
W=\int_{0}^{1}\big(8t^{2}-16t+6\big)\,dt.
  • Calculo primitiva termo a termo:
\int 8t^{2}\,dt=\frac{8}{3}t^{3},\qquad \int -16t\,dt=-8t^{2},\qquad \int 6\,dt=6t.
  • Então a primitiva é \dfrac{8}{3}t^{3}-8t^{2}+6t. Avaliando de 0 a 1:
W=\left(\frac{8}{3}\cdot 1^{3}-8\cdot 1^{2}+6\cdot 1\right)-0 =\frac{8}{3}-8+6.
  • Faça as contas com frações:
-8+6=-2,\qquad -2+\frac{8}{3}=\frac{-6+8}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto
W=\frac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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