(Vale: 2,0) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover uma partícula sobre a curva
que consiste em um segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- O enunciado dá o campo de força
. - O enunciado dá a curva
: o segmento de reta que liga os pontos e . - O que se pede: calcular o trabalho realizado pelo campo quando uma partícula se move ao longo de
. Em linguagem matemática, isso é
Passo 2
Ideia do método e por que usá-lo (passo-a-passo do conceito):
- Para calcular o trabalho usamos a integral de linha do campo ao longo da curva:
- A forma prática é parametrizar a curva por algum
, variando em um intervalo , e então calcular
Explicando:
dá as coordenadas
ao longo da curva;
é o vetor tangente (d
);
é a componente tangencial da força, e integrar dá o trabalho total.
- Antes de parametrizar, verifico rapidamente se o campo é conservativo (caso fosse, poderíamos usar uma potencial e só avaliar nos extremos). Para um campo planar
com e , a condição de conservatividade (em um domínio simples) é .
Como
em geral,
. Logo o campo NÃO é conservativo globalmente, então não dá para usar um potencial simples — precisamos parametrizar e calcular a integral diretamente.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta e cálculo do vetor velocidade:
- Um parâmetro conveniente é
. A parametrização do segmento que vai de (quando ) a (quando ) é
- Então
- Derivando,
Passo 4
Avaliar
ao longo da parametrização e formar o produto escalar:
- Substituindo
e em :
- Simplificando o primeiro componente:
Portanto
- O produto escalar com
é
- Calcule termo a termo:
Somando,
Passo 5
Calcular a integral de
a
:
- O trabalho é
- Calculo primitiva termo a termo:
- Então a primitiva é
. Avaliando de a :
- Faça as contas com frações:
Portanto