Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
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dada por
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Passo 1
O enunciado pede a definição de função injetora e sobrejetora e, em seguida, que apliquemos essas definições à função
dada por
. O conteúdo é teoria de aplicação de definições formais de injeção e sobrejeção, e vamos precisar usar propriedades de valor absoluto e análise de imagens.
Passo 2
Para lembrar, uma função é injetora se sempre que
segue que
. Em outras palavras, elementos diferentes do domínio não podem ter a mesma imagem.
Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um
no domínio tal que
. Em outras palavras, a imagem de
é igual ao contradomínio.
Uma função é sobrejetora se todo elemento
Passo 3
Vamos calcular o valor de
. Como
quando
e
quando
, temos:
Isso mostra que a única imagem possível de
é
ou
. Logo, qualquer dois pontos positivos do domínio mapeiam para
e qualquer dois pontos negativos mapeiam para
, de modo que
não implica
. Portanto, não é injetora.
Além disso, o contradomínio é , mas
nunca assume valores fora de
. Portanto, não existe
tal que
ou
, por exemplo. Logo,
não é sobrejetora.
Além disso, o contradomínio é
Resposta
A função não é injetora nem sobrejetora.