Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
© f: R-0 R dada por f(x)=x|x|.

Passo 1

O enunciado pede a definição de função injetora e sobrejetora e, em seguida, que apliquemos essas definições à função f: Rsetminus0toR dada por f(x)=x|x|. O conteúdo é teoria de aplicação de definições formais de injeção e sobrejeção, e vamos precisar usar propriedades de valor absoluto e análise de imagens.

Passo 2

Para lembrar, uma função é injetora se sempre que f(x1)=f(x2) segue que x1=x2. Em outras palavras, elementos diferentes do domínio não podem ter a mesma imagem.
Uma função é sobrejetora se todo elemento y do contradomínio tem pelo menos um x no domínio tal que f(x)=y. Em outras palavras, a imagem de f é igual ao contradomínio.

Passo 3

Vamos calcular o valor de f(x). Como |x|=x quando x>0 e |x|=-x quando x<0, temos:
f(x)=x|x|=1, & x>0,-1, & x<0
Isso mostra que a única imagem possível de f é 1 ou -1. Logo, qualquer dois pontos positivos do domínio mapeiam para 1 e qualquer dois pontos negativos mapeiam para -1, de modo que f(x1)=f(x2) não implica x1=x2. Portanto, não é injetora.
Além disso, o contradomínio é R, mas f(x) nunca assume valores fora de 1,-1. Portanto, não existe x tal que f(x)=0 ou f(x)=2, por exemplo. Logo, f não é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora nem sobrejetora.

Exercícios relacionados