Definição: Sejam vec{u}, vec{v} vetores do plano, dizemos que vec{u} é paralelo a vec{v}, que denotamos vec{u} || vec{v}, se vec{u} é múltiplo de vec{v} ou vec{v} é múltiplo de vec{u}.
Sejam vec{u}, vec{v} e vec{w} vetores do plano com vec{w} \neq \overrightarrow{0}, se vec{u} || vec{w} e vec{v} || vec{w} mostre que vec{u} || vec{v}.

Passo 1

O enunciado define paralelismo no plano: dizemos que \vec u é paralelo a \vec v (denotado \vec u \parallel \vec v) se um é múltiplo escalar do outro. Aqui temos três vetores \vec u,\vec v,\vec w com \vec w\neq\overrightarrow{0} e sabemos que \vec u\parallel\vec w e \vec v\parallel\vec w. O objetivo é mostrar que então \vec u\parallel\vec v. Vamos usar a definição de múltiplo escalar e analisar casos conforme os escalares envolvidos.

Passo 2

Pela hipótese \vec u\parallel\vec w, existe escalar \alpha tal que
\vec u = \alpha\,\vec w.
De modo análogo, como \vec v\parallel\vec w, existe escalar \beta tal que
\vec v = \beta\,\vec w.

Passo 3

Suponha primeiro que \beta \neq 0. Então podemos escrever
\vec w = \frac{1}{\beta}\,\vec v,
e substituindo em \vec u = \alpha\,\vec w obtemos
\vec u = \alpha\Bigl(\frac{1}{\beta}\,\vec v\Bigr) = \frac{\alpha}{\beta}\,\vec v.
Isso mostra que \vec u é múltiplo escalar de \vec v, logo \vec u\parallel\vec v.

Passo 4

Agora suponha que \beta = 0. Da expressão \vec v = \beta\,\vec w segue \vec v = \overrightarrow{0}. Nesse caso \vec v é o vetor nulo, e lembre que o vetor nulo é múltiplo escalar de qualquer vetor:
\vec v = 0\cdot\vec u.
Portanto \vec v é múltiplo de \vec u, o que implica \vec v\parallel\vec u, e por definição de paralelismo isto é equivalente a \vec u\parallel\vec v.

Resposta

Como em ambos os casos conseguimos mostrar que um vetor é múltiplo escalar do outro, concluímos que \vec u\parallel\vec v.

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