A definição de torque (
) é
. Use essa definição e prove que o torque
gerado pelo campo magnético em um circuito fechado
pode ser calculado por
para
constante.
Dica: Use a identidade vetorial
.
Dica: Use a identidade vetorial
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- O objetivo: provar que o torque total gerado pelo campo magnético numa corrente que percorre um circuito fechado
é
quando
é constante.
- Informações dadas:
- Definição do torque:
. - Identidade vetorial fornecida:
- Circuito fechado
percorido por uma corrente . -
é constante no espaço. -
é o elemento de comprimento vetorial ao longo do fio, no sentido da corrente.
- Definição do torque:
- Observação importante que vou usar (mas sem resolver ainda): a força magnética sobre um elemento de corrente é dada por
.
Passo 2
Força magnética sobre um elemento de corrente e expressão do torque diferencial.
- Explicando
: é o vetor deslocamento infinitesimal do fio, direcionado segundo a corrente, com comprimento . - A força magnética sobre esse elemento, vindA da lei de Lorentz para um elemento de corrente, é
Isto significa: cada pedaço infinitesimal do fio sofre uma força perpendicular tanto ao fio (direção de
) quanto ao campo
.
- O torque diferencial devido a esse elemento (momento de força) é o momento posição vezes a força:
Aqui
é o vetor posição do elemento em relação à origem escolhida.
Passo 3
Aplicar a identidade vetorial ao triplo produto.
- Usando a identidade com
, , :
- Substituindo na expressão de
(lembrando do fator ):
Expliquei o que cada termo significa:
-
é um vetor paralelo a com magnitude escalada pelo escalar . -
é o vetor multiplicado pelo escalar .
Passo 4
Integração ao longo do circuito fechado e tratamento do termo com
constante.
- Integramos
ao longo do circuito para obter o torque total:
- Como
é constante no espaço, pode-se retirá-lo fora da integral no segundo termo:
Passo 5
Mostrar que
.
- Observação útil:
(elemento de posição ao longo do caminho). Então
Isto vem do cálculo diferencial:
.
- Integrando esse diferencial exato numa curva fechada
:
pois a integral de um diferencial exato ao longo de um laço fechado é zero (a função
tem o mesmo valor no início e no fim do circuito).
Passo 6
Concluir e escrever a expressão desejada.
- Como o segundo termo desaparece, sobra apenas
- Usando uma notação mais habitual (ordenando fatores escalares/vetoriais),
que é exatamente a fórmula que queríamos demonstrar. Ressalto: a hipótese
constante foi usada para tirar
da integral e obter o termo
que anula-se.