A definição de torque ( \vec{\tau} ) é \vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}. Use essa definição e prove que o torque \vec{\tau} gerado pelo campo magnético em um circuito fechado c pode ser calculado por
\vec{\tau}=I \oint_{c}(\vec{r} \cdot \vec{B}) d \vec{\ell}
para \vec{B} constante.
Dica: Use a identidade vetorial
\overrightarrow{\mathbf{a}} \times(\overrightarrow{\mathbf{b}} \times \overrightarrow{\mathbf{c}})=\overrightarrow{\mathbf{b}}(\overrightarrow{\mathbf{a}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{c}})-\overrightarrow{\mathbf{c}}(\overrightarrow{\mathbf{a}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • O objetivo: provar que o torque total gerado pelo campo magnético numa corrente que percorre um circuito fechado c é
\vec{\tau}=I \oint_{c}(\vec{r} \cdot \vec{B})\, d\vec{\ell},
quando \vec{B} é constante.
  • Informações dadas:
    • Definição do torque: \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
    • Identidade vetorial fornecida:
    \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
    • Circuito fechado c percorido por uma corrente I.
    • \vec{B} é constante no espaço.
    • d\vec{\ell} é o elemento de comprimento vetorial ao longo do fio, no sentido da corrente.
  • Observação importante que vou usar (mas sem resolver ainda): a força magnética sobre um elemento de corrente é dada por d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.

Passo 2

Força magnética sobre um elemento de corrente e expressão do torque diferencial.
  • Explicando d\vec{\ell}: é o vetor deslocamento infinitesimal do fio, direcionado segundo a corrente, com comprimento d\ell.
  • A força magnética sobre esse elemento, vindA da lei de Lorentz para um elemento de corrente, é
d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Isto significa: cada pedaço infinitesimal do fio sofre uma força perpendicular tanto ao fio (direção de d\vec{\ell}) quanto ao campo \vec{B}.
  • O torque diferencial devido a esse elemento (momento de força) é o momento posição vezes a força:
d\vec{\tau}=\vec{r}\times d\vec{F}=\vec{r}\times\bigl(I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}\bigr).
Aqui \vec{r} é o vetor posição do elemento em relação à origem escolhida.

Passo 3

Aplicar a identidade vetorial ao triplo produto.
  • Usando a identidade com \vec{a}=\vec{r}, \vec{b}=d\vec{\ell}, \vec{c}=\vec{B}:
\vec{r}\times\bigl(d\vec{\ell}\times\vec{B}\bigr)=d\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{B}\,(\vec{r}\cdot d\vec{\ell}).
  • Substituindo na expressão de d\vec{\tau} (lembrando do fator I):
d\vec{\tau}=I\left[\,d\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{B}\,(\vec{r}\cdot d\vec{\ell})\,\right].
Expliquei o que cada termo significa:
  • d\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B}) é um vetor paralelo a d\vec{\ell} com magnitude escalada pelo escalar \vec{r}\cdot\vec{B}.
  • \vec{B}\,(\vec{r}\cdot d\vec{\ell}) é o vetor \vec{B} multiplicado pelo escalar \vec{r}\cdot d\vec{\ell}.

Passo 4

Integração ao longo do circuito fechado e tratamento do termo com \vec{B} constante.
  • Integramos d\vec{\tau} ao longo do circuito c para obter o torque total:
\vec{\tau}= \oint_{c} d\vec{\tau}=I\oint_{c}\left[\,d\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{B}\,(\vec{r}\cdot d\vec{\ell})\,\right].
  • Como \vec{B} é constante no espaço, pode-se retirá-lo fora da integral no segundo termo:
\vec{\tau}=I\oint_{c}d\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})-I\,\vec{B}\oint_{c}(\vec{r}\cdot d\vec{\ell}).

Passo 5

Mostrar que \displaystyle \oint_{c}\vec{r}\cdot d\vec{\ell}=0.
  • Observação útil: d\vec{\ell}=d\vec{r} (elemento de posição ao longo do caminho). Então
\vec{r}\cdot d\vec{\ell}=\vec{r}\cdot d\vec{r}=\tfrac{1}{2}d(\vec{r}\cdot\vec{r})=\tfrac{1}{2}d\bigl(r^{2}\bigr).
Isto vem do cálculo diferencial: d(\vec{r}\cdot\vec{r})=2\vec{r}\cdot d\vec{r}.
  • Integrando esse diferencial exato numa curva fechada c:
\oint_{c}\vec{r}\cdot d\vec{\ell}=\tfrac{1}{2}\oint_{c} d\bigl(r^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl[r^{2}\bigr]_{c}=0,
pois a integral de um diferencial exato ao longo de um laço fechado é zero (a função r^{2} tem o mesmo valor no início e no fim do circuito).

Passo 6

Concluir e escrever a expressão desejada.
  • Como o segundo termo desaparece, sobra apenas
\vec{\tau}=I\oint_{c} d\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B}).
  • Usando uma notação mais habitual (ordenando fatores escalares/vetoriais),
\vec{\tau}=I\oint_{c}(\vec{r}\cdot\vec{B})\,d\vec{\ell},
que é exatamente a fórmula que queríamos demonstrar. Ressalto: a hipótese \vec{B} constante foi usada para tirar \vec{B} da integral e obter o termo \vec{B}\oint \vec{r}\cdot d\vec{\ell} que anula-se.

Resposta

\displaystyle \vec{\tau}=I\oint_{c}(\vec{r}\cdot\vec{B})\,d\vec{\ell}

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