A distância focal de um espelho esférico é igual a
vezes o raio de curvatura, em que
é igual a
◯
◯
◯ 1
◯ 2
◯ 4
◯
◯
◯ 1
◯ 2
◯ 4
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o valor de
na relação entre a distância focal
de um espelho esférico e o raio de curvatura
, isto é, sabe-se que
e devemos determinar
. Informação dada: apenas a relação entre
e
(nenhum número extra). O objetivo é achar a constante
.
Passo 2
Vamos entender os pontos geométricos importantes e as variáveis:
- Seja
o vértice do espelho (ponto central da superfície refletora sobre o eixo). - Seja
o centro de curvatura da superfície esférica; por definição a distância é o raio de curvatura . - Seja
o foco (ponto onde raios paralelos ao eixo se encontram após reflexão); a distância é a distância focal . - Considere um raio de luz incidente paralelo ao eixo que atinge a superfície no ponto
, a uma altura acima do eixo. A normal à superfície em passa por (propriedade geométrica da esfera).
A ideia: usar a lei da reflexão (ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão) e a geometria para relacionar
com
. Em espelhos esféricos usa-se a aproximação paraxial (pequenos ângulos), isto é,
é pequeno comparado a
e podemos aproximar
para ângulos em radianos pequenos. Essa aproximação é a que transforma a relação geométrica exata numa relação simples
versus
.
Passo 3
Faça a análise geométrica com o ponto
a altura
do eixo:
- O segmento
tem comprimento . - O ângulo entre a linha
(normal) e o eixo será chamado de . Como o raio incidente é paralelo ao eixo, o ângulo de incidência em relação à normal é . - Pela lei da reflexão, o raio refletido forma também
com a normal, portanto o ângulo entre o raio refletido e o eixo é (o raio “vira” de um lado para o outro passando por duas vezes o desvio em relação ao eixo).
Agora relacionamos
com
e
. Do triângulo retângulo formado por
, projeção de
no eixo e
:
Na aproximação paraxial (ângulos pequenos) podemos usar
.
Passo 4
Determine onde o raio refletido intercepta o eixo. Chame de
a abscissa de
medida a partir de
ao longo do eixo. Pela geometria da esfera,
Para
use a expansão binomial
com
. Assim
Agora considere o triângulo formado pelo ponto
e o ponto de interseção do raio refletido com o eixo em
. A inclinação do raio refletido em relação ao eixo é aproximadamente
. A respetiva tangente também pode ser escrita em termos de
e da distância axial entre
e
, que é
:
Para pequenos ângulos
e
, então
Passo 5
Igualando as expressões aproximadas para a inclinação do raio refletido:
Cancelando
(não zero) obtemos
Lembrando que
e que na aproximação paraxial
temos
, então no limite dos raios paraxiais
Assim, a relação exata no limite paraxial é
Passo 6
Interpretação prática e lembrete: isso significa que o foco de um espelho esférico paraxial fica no meio do segmento que liga o vértice ao centro de curvatura. Essa é a propriedade usada em óptica geométrica básica para espelhos esféricos.