A distância focal de um espelho esférico é igual a \mathbf{N} vezes o raio de curvatura, em que \mathbf{N} é igual a
1 / 4
\frac{1}{2}
◯ 1
◯ 2
◯ 4

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o valor de \mathbf{N} na relação entre a distância focal f de um espelho esférico e o raio de curvatura R, isto é, sabe-se que
f=\mathbf{N}\,R
e devemos determinar \mathbf{N}. Informação dada: apenas a relação entre f e R (nenhum número extra). O objetivo é achar a constante \mathbf{N}.

Passo 2

Vamos entender os pontos geométricos importantes e as variáveis:
  • Seja V o vértice do espelho (ponto central da superfície refletora sobre o eixo).
  • Seja C o centro de curvatura da superfície esférica; por definição a distância VC é o raio de curvatura R.
  • Seja F o foco (ponto onde raios paralelos ao eixo se encontram após reflexão); a distância VF é a distância focal f.
  • Considere um raio de luz incidente paralelo ao eixo que atinge a superfície no ponto P, a uma altura h acima do eixo. A normal à superfície em P passa por C (propriedade geométrica da esfera).
A ideia: usar a lei da reflexão (ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão) e a geometria para relacionar f com R. Em espelhos esféricos usa-se a aproximação paraxial (pequenos ângulos), isto é, h é pequeno comparado a R e podemos aproximar \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta para ângulos em radianos pequenos. Essa aproximação é a que transforma a relação geométrica exata numa relação simples f versus R.

Passo 3

Faça a análise geométrica com o ponto P a altura \,h do eixo:
  • O segmento CP tem comprimento R.
  • O ângulo entre a linha CP (normal) e o eixo será chamado de \theta. Como o raio incidente é paralelo ao eixo, o ângulo de incidência em relação à normal é \theta.
  • Pela lei da reflexão, o raio refletido forma também \theta com a normal, portanto o ângulo entre o raio refletido e o eixo é 2\theta (o raio “vira” de um lado para o outro passando por duas vezes o desvio em relação ao eixo).
Agora relacionamos \theta com h e R. Do triângulo retângulo formado por C, projeção de P no eixo e P:
\sin\theta=\frac{h}{R}.
Na aproximação paraxial (ângulos pequenos) podemos usar \theta\approx\sin\theta\approx\frac{h}{R}.

Passo 4

Determine onde o raio refletido intercepta o eixo. Chame de x_P a abscissa de P medida a partir de V ao longo do eixo. Pela geometria da esfera,
x_P=R-\sqrt{R^{2}-h^{2}}.
Para h\ll R use a expansão binomial \sqrt{1-u}\approx 1-\dfrac{u}{2} com u=\dfrac{h^{2}}{R^{2}}. Assim
x_P=R-R\sqrt{1-\frac{h^{2}}{R^{2}}}\approx R-R\Big(1-\frac{h^{2}}{2R^{2}}\Big)=\frac{h^{2}}{2R}.
Agora considere o triângulo formado pelo ponto P e o ponto de interseção do raio refletido com o eixo em F. A inclinação do raio refletido em relação ao eixo é aproximadamente \tan(2\theta). A respetiva tangente também pode ser escrita em termos de h e da distância axial entre P e F, que é f-x_P:
\tan(2\theta)\approx\frac{h}{\,f-x_P\,}.
Para pequenos ângulos \tan(2\theta)\approx 2\theta e \theta\approx \dfrac{h}{R}, então
\tan(2\theta)\approx 2\theta\approx 2\cdot\frac{h}{R}.

Passo 5

Igualando as expressões aproximadas para a inclinação do raio refletido:
\frac{h}{\,f-x_P\,}\approx 2\cdot\frac{h}{R}.
Cancelando h (não zero) obtemos
\frac{1}{\,f-x_P\,}\approx \frac{2}{R}\quad\Rightarrow\quad f-x_P\approx\frac{R}{2}.
Lembrando que x_P\approx \dfrac{h^{2}}{2R} e que na aproximação paraxial h\to 0 temos x_P\to 0, então no limite dos raios paraxiais
f\approx\frac{R}{2}.
Assim, a relação exata no limite paraxial é
f=\frac{R}{2}.

Passo 6

Interpretação prática e lembrete: isso significa que o foco de um espelho esférico paraxial fica no meio do segmento que liga o vértice ao centro de curvatura. Essa é a propriedade usada em óptica geométrica básica para espelhos esféricos.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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