Uma superfície refratora convexa com índice de refração n=2 tem um raio de 12 cm . A luz que se propaga inicialmente no ar ( n=1 ), paralelamente ao eixo central da superfície refratora, é focalizada em um ponto situado
◯ a 3 cm de distância da superfície.
◯ a 6 cm de distância da superfície.
◯ a 12 cm de distância da superfície.
◯ a 18 cm de distância da superfície.
◯ a 24 cm de distância da superfície.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Índice do meio de onde vêm os raios (ar): n_1=1.
    • Índice do meio após a superfície (material): n_2=2.
    • Raio de curvatura da superfície refratora: R=12\\ \text{cm}.
    • Os raios chegam paralelamente ao eixo central (ou seja, objeto efetivamente no infinito).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a distância, medida a partir da superfície refratora, onde os raios paralelos são focalizados (ou seja, a posição da imagem formada pela refração).

Passo 2

Apresentar a fórmula de refração para uma superfície esférica e explicar o que cada símbolo significa.
Para uma superfície esférica de raio R que separa meios com índices n_1 (do lado do objeto) e n_2 (do lado da imagem), a relação entre a posição do objeto s (medida a partir do vértice da superfície do lado do objeto) e a posição da imagem s' (medida a partir do vértice do lado da imagem) é
\frac{n_2}{s'} - \frac{n_1}{s} = \frac{n_2 - n_1}{R}.
Explicando os termos:
  • n_1: índice do meio onde está o objeto/raios incidentes.
  • n_2: índice do meio do outro lado da superfície (onde a imagem pode se formar).
  • s: distância objeto → vértice (positiva se o objeto está no lado de incidência).
  • s': distância vértice → imagem (positiva se a imagem estiver do lado do meio n_2).
  • R: raio de curvatura da superfície (sinal positivo se o centro de curvatura está no lado do meio n_2).
Observação sobre sinais: neste problema os raios vêm do ar e incidem sobre a superfície convexa que tem curvatura voltada para o lado onde os raios entram? O enunciado diz “superfície refratora convexa” e dá R=12\\ \text{cm}. Para a configuração usual (raios vindo da esquerda, superfície convexa com centro de curvatura à direita), podemos tomar R=+12\\ \text{cm} e a imagem esperada estará dentro do segundo meio (logo s'>0). Vou seguir essa convenção padrão, que é a usada na fórmula acima.

Passo 3

Aplicar o caso especial “objeto no infinito” (raios paralelos).
Quando os raios chegam paralelos ao eixo, o objeto fica efetivamente no infinito. Matematicamente, isso significa
s = \infty \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{s}=0.
Substituindo \frac{n_1}{s}=0 na fórmula da superfície esférica, obtemos a relação simples para o foco (imagem de objetos no infinito):
\frac{n_2}{s'} = \frac{n_2 - n_1}{R}.

Passo 4

Isolar s' e interpretar fisicamente.
Da equação do passo anterior temos
s' = \frac{n_2}{\,n_2 - n_1\,}\,R.
Interpretação: s' é a distância do vértice da superfície até o ponto onde os raios paralelos convergem dentro do meio de índice n_2. Note que se n_2>n_1 a posição s' é positiva e finita, como esperado para foco real dentro do segundo meio.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Substituindo n_1=1, n_2=2 e R=12\\ \text{cm} em
s' = \frac{n_2}{\,n_2 - n_1\,}\,R
temos
s' = \frac{2}{\,2-1\,}\cdot 12\\ \text{cm} = \frac{2}{1}\cdot 12\\ \text{cm} = 24\\ \text{cm}.

Passo 6

Verificação física rápida e comentário motivador.
O resultado s'=24\\ \text{cm} faz sentido: aumentar o índice do segundo meio (de 1 para 2) torna a refração mais intensa, deslocando o foco para mais longe do vértice do que o raio de curvatura. Além disso, o valor é uma das alternativas fornecidas, o que confirma consistência com a prova.

Resposta

a 24 cm de distância da superfície.

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