Uma superfície refratora convexa com índice de refração
tem um raio de 12 cm . A luz que se propaga inicialmente no ar (
), paralelamente ao eixo central da superfície refratora, é focalizada em um ponto situado
◯ a 3 cm de distância da superfície.
◯ a 6 cm de distância da superfície.
◯ a 12 cm de distância da superfície.
◯ a 18 cm de distância da superfície.
◯ a 24 cm de distância da superfície.
◯ a 3 cm de distância da superfície.
◯ a 6 cm de distância da superfície.
◯ a 12 cm de distância da superfície.
◯ a 18 cm de distância da superfície.
◯ a 24 cm de distância da superfície.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Índice do meio de onde vêm os raios (ar):
. - Índice do meio após a superfície (material):
. - Raio de curvatura da superfície refratora:
. - Os raios chegam paralelamente ao eixo central (ou seja, objeto efetivamente no infinito).
- Índice do meio de onde vêm os raios (ar):
- O que o enunciado pede:
- Determinar a distância, medida a partir da superfície refratora, onde os raios paralelos são focalizados (ou seja, a posição da imagem formada pela refração).
Passo 2
Apresentar a fórmula de refração para uma superfície esférica e explicar o que cada símbolo significa.
Para uma superfície esférica de raio
que separa meios com índices
(do lado do objeto) e
(do lado da imagem), a relação entre a posição do objeto
(medida a partir do vértice da superfície do lado do objeto) e a posição da imagem
(medida a partir do vértice do lado da imagem) é
Explicando os termos:
-
: índice do meio onde está o objeto/raios incidentes. -
: índice do meio do outro lado da superfície (onde a imagem pode se formar). -
: distância objeto → vértice (positiva se o objeto está no lado de incidência). -
: distância vértice → imagem (positiva se a imagem estiver do lado do meio ). -
: raio de curvatura da superfície (sinal positivo se o centro de curvatura está no lado do meio ).
Observação sobre sinais: neste problema os raios vêm do ar e incidem sobre a superfície convexa que tem curvatura voltada para o lado onde os raios entram? O enunciado diz “superfície refratora convexa” e dá
. Para a configuração usual (raios vindo da esquerda, superfície convexa com centro de curvatura à direita), podemos tomar
e a imagem esperada estará dentro do segundo meio (logo
). Vou seguir essa convenção padrão, que é a usada na fórmula acima.
Passo 3
Aplicar o caso especial “objeto no infinito” (raios paralelos).
Quando os raios chegam paralelos ao eixo, o objeto fica efetivamente no infinito. Matematicamente, isso significa
Substituindo
na fórmula da superfície esférica, obtemos a relação simples para o foco (imagem de objetos no infinito):
Passo 4
Isolar
e interpretar fisicamente.
Da equação do passo anterior temos
Interpretação:
é a distância do vértice da superfície até o ponto onde os raios paralelos convergem dentro do meio de índice
. Note que se
a posição
é positiva e finita, como esperado para foco real dentro do segundo meio.
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Substituindo
,
e
em
temos
Passo 6
Verificação física rápida e comentário motivador.
O resultado
faz sentido: aumentar o índice do segundo meio (de 1 para 2) torna a refração mais intensa, deslocando o foco para mais longe do vértice do que o raio de curvatura. Além disso, o valor é uma das alternativas fornecidas, o que confirma consistência com a prova.
Resposta
a 24 cm de distância da superfície.