1. Definições a usar nesta questão:
Z_{\text {ef }}=Z-S \text {, }
onde Z é o número atômico e S é o termo de blindagem calculado pelas regras de Slater para elétrons ns, np de um mesmo átomo:
(i) elétrons no mesmo nível (ns, np) (exceto o considerado): 0,35 cada,
(ii) elétrons no nível imediatamente interno ( \mathrm{n}-1 ): 0,85 cada,
(iii) elétrons em níveis mais internos ( \mathrm{n}-2 ou menores): 1,00 cada.
Primeira energia de ionização ( \mathrm{I}_{1} ) será estimada pelo modelo hidrogenoide:
\mathrm{I}_{1} \propto \frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{ef}}^{2}}{\mathrm{n}^{2}},
e, para comparar raios em uma série isoelectrônica de mesma camada principal \mathbf{n}, adotaremos a proporcionalidade \langle r\rangle \propto \frac{\mathrm{n}^{2}}{\mathrm{Z}_{\mathrm{ef}}}.
Convenção para as letras nos subitens: os rótulos a), b), c) identificam subitens da mesma questão; responda a todos.
a) Para um elétron 3 p , calcule \mathrm{Z}_{\mathrm{ef}} no \mathrm{P}\left(\mathrm{Z}=15\right.; configuração \left.[\mathrm{Ne}] 3 \mathrm{~s}^{2} 3 \mathrm{p}^{3}\right) e no \mathrm{C} \ell(\mathrm{Z}=17; \left.[\mathrm{Ne}] 3 \mathrm{~s}^{2} 3 \mathrm{p}^{5}\right), usando as regras de Slater acima.
b) Admitindo o modelo hidrogenoide para \mathrm{n}=3, estime a razão \frac{\mathrm{I}_{1}(\mathrm{C} \ell)}{\mathrm{I}_{1}(\mathrm{P})} a partir dos \mathrm{Z}_{\mathrm{ef}} do item (a).
c) Para a série isoelectrônica \mathrm{S}^{2-}, \mathrm{C} \ell^{-}, \mathrm{Ar}, \mathrm{K}^{+}, \mathrm{Ca}^{2+} (18 elétrons; camada de valência \mathrm{n}=3 ), ordene os raios (maior \rightarrow menor) e estime \frac{\mathrm{r}\left(\mathrm{S}^{2-}\right)}{\mathrm{r}\left(\mathrm{Ca}^{2+}\right)} usando \langle\mathrm{r}\rangle \propto \frac{\mathrm{n}^{2}}{\mathrm{Z}_{\mathrm{ef}}}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas (subitens a, b, c). Os dados e as regras dadas são:
  • Regras de Slater (para elétrons ns,\,np do mesmo átomo):
    (i) elétrons no mesmo nível (exceto o considerado): 0,35 cada;
    (ii) elétrons no nível imediatamente interno ( n-1): 0,85 cada;
    (iii) elétrons em níveis mais internos ( n-2 ou menores): 1,00 cada.
  • Definições/fórmulas fornecidas:
    Z_{\text{ef}} = Z - S,
    onde Z é o número atômico e S é o somatório da blindagem pelas regras de Slater.
    I_1 \propto \frac{Z_{\text{ef}}^{2}}{n^{2}} \quad\text{(modelo hidrogenoide, primeira energia de ionização)}çã
\langle r\rangle \propto \frac{n^{2}}{Z_{\text{ef}}} \quad\text{(para comparar raios em série isoelectrônica com mesma camada \(n\))}éô
  • Perguntas:
    a) Para um elétron 3p, calcule Z_{\text{ef}} em \mathrm{P} ( Z=15; configuração [\mathrm{Ne}]\,3s^{2}3p^{3} ) e em \mathrm{Cl} ( Z=17; configuração [\mathrm{Ne}]\,3s^{2}3p^{5} ), aplicando as regras de Slater.
    b) Admitindo n=3 (mesmo para ambos), estime a razão \dfrac{I_{1}(\mathrm{Cl})}{I_{1}(\mathrm{P})} a partir dos Z_{\text{ef}} obtidos em (a).
    c) Para a série isoelectrônica \mathrm{S}^{2-},\,\mathrm{Cl}^{-},\,\mathrm{Ar},\,\mathrm{K}^{+},\,\mathrm{Ca}^{2+} (todos com 18 elétrons; camada de valência n=3), ordene os raios do maior para o menor e estime \dfrac{r(\mathrm{S}^{2-})}{r(\mathrm{Ca}^{2+})} usando \langle r\rangle \propto \dfrac{n^{2}}{Z_{\text{ef}}}.

Passo 2

Breve explicação do método (Slater passo a passo) — o que vou aplicar no item (a):
  • Estamos calculando a blindagem S sentida por um elétron 3p.
  • Contamos os elétrons em cada “faixa”:
    • elétrons no mesmo nível n=3 (exceto o elétron considerado) contribuem 0,35 cada;
    • elétrons em n=2 (nível imediatamente interno) contribuem 0,85 cada;
    • elétrons em n=1 (ou mais internos) contribuem 1,00 cada.
  • Depois fazemos Z_{\text{ef}} = Z - S.
    Vou aplicar isso detalhadamente para fósforo e cloro.

Passo 3

Cálculo para o 3p de \mathrm{P} (dados: Z=15, configuração [\mathrm{Ne}]\,3s^{2}3p^{3}).
  • Contagem de elétrons relevantes:
    • elétrons no mesmo nível n=3: em [\mathrm{Ne}]\,3s^{2}3p^{3} 3s^{2}+3p^{3}=5 elétrons no nível 3. Excluindo o elétron considerado, restam 5-1=4 elétrons no mesmo nível.
    • elétrons em n=2: [\mathrm{Ne}] tem 2s^{2}2p^{6} 8 elétrons.
    • elétrons em n=1: 1s^{2} 2 elétrons.
  • Aplicando as contribuições de Slater:
    S_{\text{mesmo nível}} = 4 \times 0,35 = 1,40í
S_{n-1} = 8 \times 0,85 = 6,80
S_{\text{internos}} = 2 \times 1,00 = 2,00
S = 1,40 + 6,80 + 2,00 = 10,20
  • Portanto Z_{\text{ef}}(\mathrm{P},\,3p) = Z - S = 15 - 10,20 = 4,80.

Passo 4

Cálculo para o 3p de \mathrm{Cl} (dados: Z=17, configuração [\mathrm{Ne}]\,3s^{2}3p^{5}).
  • Contagem de elétrons:
    • nível n=3: 3s^{2}+3p^{5}=7 elétrons no nível 3. Excluindo o elétron considerado: 7-1=6.
    • n=2: 8 elétrons.
    • n=1: 2 elétrons.
  • Aplicando Slater:
    S_{\text{mesmo nível}} = 6 \times 0,35 = 2,10í
S_{n-1} = 8 \times 0,85 = 6,80
S_{\text{internos}} = 2 \times 1,00 = 2,00
S = 2,10 + 6,80 + 2,00 = 10,90
  • Portanto Z_{\text{ef}}(\mathrm{Cl},\,3p) = Z - S = 17 - 10,90 = 6,10.

Passo 5

Interpretação física curta e transição para (b):
  • A fórmula dada para a primeira energia de ionização no modelo hidrogenoide é I_1 \propto \frac{Z_{\text{ef}}^{2}}{n^{2}}.
  • Como os dois casos têm n=3, o fator n^{2} cancela ao formar a razão \dfrac{I_1(\mathrm{Cl})}{I_1(\mathrm{P})}. Vou usar os Z_{\text{ef}} calculados nos passos anteriores.

Passo 6

Cálculo da razão \dfrac{I_{1}(\mathrm{Cl})}{I_{1}(\mathrm{P})}.
  • Usando a proporcionalidade e cancelando n^{2}: \frac{I_{1}(\mathrm{Cl})}{I_{1}(\mathrm{P})} \approx \frac{Z_{\text{ef}}(\mathrm{Cl})^{2}}{Z_{\text{ef}}(\mathrm{P})^{2}}
  • Substituindo Z_{\text{ef}}(\mathrm{Cl})=6,10 e Z_{\text{ef}}(\mathrm{P})=4,80: \frac{I_{1}(\mathrm{Cl})}{I_{1}(\mathrm{P})} \approx \frac{6,10^{2}}{4,80^{2}} = \frac{37,21}{23,04} \approx 1,615\ldots
  • Arredondando de forma prática (duas casas significativas): \frac{I_{1}(\mathrm{Cl})}{I_{1}(\mathrm{P})} \approx 1,62.

Passo 7

Preparação para (c): como tratar a série isoelectrônica e cálculo de Z_{\text{ef}} para o caso geral.
  • Todos os íons/átomo da série têm 18 elétrons e, portanto, configuração eletrônica idêntica: [\mathrm{Ne}]\,3s^{2}3p^{6}. Assim a blindagem S calculada por Slater para um elétron 3p será a mesma em todos (pois a distribuição de elétrons por níveis é a mesma); a diferença entre eles vem do valor de Z (número atômico).
  • Primeiro calculo S para um elétron 3p em [\mathrm{Ne}]\,3s^{2}3p^{6}:
    • elétrons no mesmo nível n=3: total 3s^{2}+3p^{6}=8; excluindo o considerado: 8-1=7.
    • n=2: 8 elétrons.
    • n=1: 2 elétrons.
  • Aplicando Slater: S_{\text{mesmo nível}} = 7 \times 0,35 = 2,45í
S_{n-1} = 8 \times 0,85 = 6,80
S_{\text{internos}} = 2 \times 1,00 = 2,00
S = 2,45 + 6,80 + 2,00 = 11,25

Passo 8

Cálculo de Z_{\text{ef}} para cada membro da série (usando Z do núcleo):
  • Para \mathrm{S}^{2-}: elemento S tem Z=16.
    Z_{\text{ef}}(\mathrm{S}^{2-}) = 16 - 11,25 = 4,75
  • Para \mathrm{Cl}^{-}: Z=17.
    Z_{\text{ef}}(\mathrm{Cl}^{-}) = 17 - 11,25 = 5,75
  • Para \mathrm{Ar}: Z=18.
    Z_{\text{ef}}(\mathrm{Ar}) = 18 - 11,25 = 6,75
  • Para \mathrm{K}^{+}: Z=19.
    Z_{\text{ef}}(\mathrm{K}^{+}) = 19 - 11,25 = 7,75
  • Para \mathrm{Ca}^{2+}: Z=20.
    Z_{\text{ef}}(\mathrm{Ca}^{2+}) = 20 - 11,25 = 8,75

Passo 9

Ordenação dos raios usando \langle r\rangle \propto \dfrac{n^{2}}{Z_{\text{ef}}} (todos têm n=3, então n^{2} é igual para todos).
  • Como \langle r\rangle é proporcional a 1/Z_{\text{ef}} (com n fixo), maiores Z_{\text{ef}} → menores raios; menores Z_{\text{ef}} → maiores raios.
  • Valores de Z_{\text{ef}} (recapitulando): Z_{\text{ef}}(\mathrm{S}^{2-})=4,75;\quad Z_{\text{ef}}(\mathrm{Cl}^{-})=5,75;\quad Z_{\text{ef}}(\mathrm{Ar})=6,75;
Z_{\text{ef}}(\mathrm{K}^{+})=7,75;\quad Z_{\text{ef}}(\mathrm{Ca}^{2+})=8,75.
  • Portanto a ordem dos raios (maior → menor) é: \mathrm{S}^{2-} > \mathrm{Cl}^{-} > \mathrm{Ar} > \mathrm{K}^{+} > \mathrm{Ca}^{2+}.

Passo 10

Cálculo da razão \dfrac{r(\mathrm{S}^{2-})}{r(\mathrm{Ca}^{2+})}.
  • Usando a proporcionalidade e cancelando n^{2} (pois ambos têm n=3): \frac{r(\mathrm{S}^{2-})}{r(\mathrm{Ca}^{2+})} \approx \frac{\dfrac{n^{2}}{Z_{\text{ef}}(\mathrm{S}^{2-})}}{\dfrac{n^{2}}{Z_{\text{ef}}(\mathrm{Ca}^{2+})}} = \frac{Z_{\text{ef}}(\mathrm{Ca}^{2+})}{Z_{\text{ef}}(\mathrm{S}^{2-})}
  • Substituindo Z_{\text{ef}}(\mathrm{Ca}^{2+})=8,75 e Z_{\text{ef}}(\mathrm{S}^{2-})=4,75: \frac{r(\mathrm{S}^{2-})}{r(\mathrm{Ca}^{2+})} \approx \frac{8,75}{4,75} \approx 1,8421\ldots
  • Arredondando de forma prática: \frac{r(\mathrm{S}^{2-})}{r(\mathrm{Ca}^{2+})} \approx 1,84.

Resposta

a) Z_{\text{ef}}(\mathrm{P},3p)=4,80 \
Z_{\text{ef}}(\mathrm{Cl},3p)=6,10
b) \dfrac{I_{1}(\mathrm{Cl})}{I_{1}(\mathrm{P})}\approx 1,62
c) \mathrm{S}^{2-} > \mathrm{Cl}^{-} > \mathrm{Ar} > \mathrm{K}^{+} > \mathrm{Ca}^{2+} \
\dfrac{r(\mathrm{S}^{2-})}{r(\mathrm{Ca}^{2+})}\approx 1,84

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