Para a região semi-infinita \mathrm{z}<0 tem-se o vácuo, enquanto que para \mathrm{z}>0 tem-se \varepsilon=20 \mathrm{pF} / \mathrm{m}, \mu=5 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} e \sigma=4 \mathrm{mS} / \mathrm{m}. A o.p.u. dada por \mathrm{E}_{\mathrm{x} 1}^{+}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=100 \exp \left(-\alpha_{1} \mathrm{z}\right) \cos \left(10^{8} \mathrm{t}-\beta_{1} \mathrm{z}\right)[\mathrm{V} / \mathrm{m}] incide na interface. Obter:
a) \alpha_{1} \mathrm{e} \beta_{1};
b) o coeficiente de reflexão ( \Gamma ) na fronteira;
c) o coeficiente de onda estacionária (SWR);
d) expressões (no tempo) para os campos refletidos \left[\mathrm{E}_{\mathrm{x} 1}^{-}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\right. e \left.\mathrm{H}_{\mathrm{y} 1}^{-}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\right] e transmitidos \left[\mathrm{E}_{\mathrm{x} 2}^{+}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\right. e \mathrm{H}_{\mathrm{y} 2}^{+}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) ];
e) a distância que a onda transmitida deve percorrer até ser reduzida a 1% do seu valor inicial (em \mathrm{z}=0^{+}).

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Meios:
    • Região 1 (z < 0): vácuo.
    • Região 2 (z > 0): \varepsilon=20\\ \mathrm{pF/m}=20\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \mu=5\\ \mu\mathrm{H/m}=5\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}, \sigma=4\\ \mathrm{mS/m}=4\times10^{-3}\\ \mathrm{S/m}.
  • O.p.u. incidente (dada):
    E_{x1}^+(z,t)=100\,\exp(-\alpha_1 z)\cos\!\big(10^{8}t-\beta_1 z\big)\\ [\mathrm{V/m}].
    Isto mostra que a frequência angular é \omega=10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • O que pedir:
    (a) \alpha_1 e \beta_1;
    (b) coeficiente de reflexão \Gamma na fronteira (valor complexo, módulo e fase);
    (c) coeficiente de onda estacionária (SWR);
    (d) expressões no tempo para os campos refletidos E_{x1}^-(z,t) e H_{y1}^-(z,t) (região 1) e transmitidos E_{x2}^+(z,t) e H_{y2}^+(z,t) (região 2);
    (e) distância na região 2 para reduzir a onda transmitida a 1\% do valor em z=0^+.

Passo 2

(a) Cálculo de \alpha_1 e \beta_1 (meio 1 = vácuo).
  • Em vácuo não há condutividade ( \sigma_1=0), logo o meio é sem perdas e a constante de propagação é puramente imaginária:
    \gamma_1 = \alpha_1 + j\beta_1 = j\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.
    Assim \alpha_1=0 e
    \beta_1=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\frac{\omega}{c},
    onde c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} é a velocidade da luz no vácuo.
  • Usando \omega=10^{8}\\ \mathrm{rad/s} e c\approx 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
    \beta_1=\frac{10^{8}}{2{,}99792458\times10^{8}}\approx 0{,}33356\\ \mathrm{rad/m}.
Conclusão deste passo:
\alpha_1=0,\qquad \beta_1\approx 0{,}33356\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 3

Cálculo da constante de propagação \gamma_2=\alpha_2+j\beta_2 da região 2 (meio condutor-dielétrico).
  • Fórmula geral para meio com \varepsilon,\mu,\sigma:
    \gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)}.
    Aqui \omega=10^{8}, \mu=5\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}, \varepsilon=20\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \sigma=4\times10^{-3}\\ \mathrm{S/m}.
  • Primeiro calcule o termo \sigma+j\omega\varepsilon:
    \sigma+j\omega\varepsilon = 4\times10^{-3} + j(10^{8}\cdot20\times10^{-12}) = 0{,}004 + j0{,}002\\ \mathrm{S/m}.
  • Em seguida calcule j\omega\mu:
    j\omega\mu = j\,(10^{8})\,(5\times10^{-6}) = j\,500.
  • Produto dentro da raiz:
    j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) = j500\,(0{,}004 + j0{,}002) = -1 + j2.
  • Tomando a raiz quadrada complexa:
    \gamma_2=\sqrt{-1 + j2}\approx 0{,}78615 + j\,1{,}27155\quad[\mathrm{Np/m}\\ \text{e}\\ \mathrm{rad/m}].
Portanto:
\alpha_2\approx 0{,}78615\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta_2\approx 1{,}27155\\ \mathrm{rad/m}.
(Dica didática rápida: \alpha é a constante de atenuação — faz a amplitude decair como \exp(-\alpha z) — e \beta é a constante de fase — controla a variação de fase com z.)

Passo 4

Cálculo das impedâncias intrínsecas \eta_1 e \eta_2.
  • Impedância intrínseca geral:
    \eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.
  • Para o vácuo ( \sigma_1=0):
    \eta_1=\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx 376{,}73\\ \Omega.
  • Para o meio 2 (usar a expressão ou relação \eta=j\omega\mu/\gamma):
    calculando numericamente obtemos
    \eta_2\approx 284{,}4 + j\,175{,}9\\ \Omega,
    cujo módulo é |\eta_2|\approx 334{,}5\\ \Omega.
Observação: \eta relaciona E e H na forma fasorial \mathbf{H}=\frac{1}{\eta}\hat{k}\times\mathbf{E}.

Passo 5

(b) Cálculo do coeficiente de reflexão \Gamma para incidência normal.
  • Fórmula (incidência normal, campos referidos às impedâncias intrínsecas):
    \Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}.
  • Substituindo \eta_1\approx 376{,}73 e \eta_2\approx 284{,}4 + j\,175{,}9:
    \Gamma\approx -0{,}0645 + j\,0{,}2839.
  • Módulo e fase:
    |\Gamma|\approx 0{,}2911,\qquad \angle\Gamma\approx 102{,}9^\circ\\ (\approx 1{,}797\\ \mathrm{rad}).
Interpretação: cerca de 29{,}1\% da amplitude é refletida (com desvio de fase).

Passo 6

(c) Coeficiente de onda estacionária (SWR) na região 1.
  • Fórmula do SWR (em termos de |\Gamma|):
    \mathrm{SWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
  • Substituindo |\Gamma|\approx 0{,}2911:
    \mathrm{SWR}\approx\frac{1+0{,}2911}{1-0{,}2911}\approx 1{,}82.

Passo 7

Preparação para (d): coeficiente de transmissão e amplitudes iniciais.
  • Coeficiente de transmissão (amplitude da componente elétrica no instante z=0^+):
    \tau = 1+\Gamma = \frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}.
    Numericamente:
    \tau\approx 0{,}9355 + j\,0{,}2839,\quad |\tau|\approx 0{,}9777,\\ \angle\tau\approx 16{,}74^\circ(=0{,}2923\\ \mathrm{rad}).
  • Amplitudes fasoriais iniciais (em z=0):
    E_{0}^{+}=100\\ \mathrm{V/m}\quad(\text{incidente}),
E_{0}^{-}=\Gamma E_{0}^{+}\approx (-6{,}45 + j\,28{,}39)\\ \mathrm{V/m},\quad |E_{0}^{-}|=100|\Gamma|\approx 29{,}11\\ \mathrm{V/m},
E_{0}^{t}=E_{0}^{2+}=\tau E_{0}^{+}\approx (93{,}55 + j\,28{,}39)\\ \mathrm{V/m},\quad |E_{0}^{t}|\approx 97{,}77\\ \mathrm{V/m}.
  • Relações para H nos meios:
    \text{região 1: } H=\frac{1}{\eta_1}\hat{k}\times E,\qquad \text{região 2: } H=\frac{1}{\eta_2}\hat{k}\times E.ãã
    Para o campo refletido (propagando no sentido -\hat{z}) a direção de H muda de sinal.
  • Cálculo das amplitudes iniciais de H:
    H_{0}^{-} = -\frac{E_{0}^{-}}{\eta_1}\approx 0{,}01713 - j\,0{,}07537\\ \mathrm{A/m},\quad |H_{0}^{-}|\approx 0{,}07727\\ \mathrm{A/m},
H_{0}^{t} = \frac{E_{0}^{t}}{\eta_2}\approx 0{,}2827 - j\,0{,}0750\\ \mathrm{A/m},\quad |H_{0}^{t}|\approx 0{,}2925\\ \mathrm{A/m}.

Passo 8

(d) Expressões no tempo para os campos refletidos em região 1 (z<0).
  • Forma geral: para uma onda refletida que se propaga para -z (sinal de fase \omega t + \beta_1 z) e que tem fasor E_{0}^{-}=|E_{0}^{-}|e^{j\angle E_{0}^{-}},
    E_{x1}^-(z,t)=|E_{0}^{-}|\exp(+\alpha_1 z)\cos\!\big(\omega t + \beta_1 z + \angle E_{0}^{-}\big).
    Com \alpha_1=0, \omega=10^{8} e valores numéricos:
    E_{x1}^-(z,t)\approx 29{,}11\cos\!\big(10^{8}t + 0{,}33356\,z + 1{,}797\big)\\ [\mathrm{V/m}].
  • Para H_{y1}^-(z,t) (refletido, direção y é negativa em comparação ao incidente):
    H_{y1}^-(z,t)=-\frac{|E_{0}^{-}|}{\eta_1}\cos\!\big(10^{8}t + 0{,}33356\,z + 1{,}797\big)\\ [\mathrm{A/m}],
    numericamente:
    H_{y1}^-(z,t)\approx -0{,}07727\cos\!\big(10^{8}t + 0{,}33356\,z + 1{,}797\big)\\ [\mathrm{A/m}].
(Obs.: o sinal negativo indica que o H refletido aponta em -\hat{y}.)

Passo 9

(d) Expressões no tempo para os campos transmitidos em região 2 (z>0).
  • Forma geral para onda transmitida que se propaga em +z:
    E_{x2}^+(z,t)=|E_{0}^{t}|\exp(-\alpha_2 z)\cos\!\big(\omega t - \beta_2 z + \angle E_{0}^{t}\big).
    Substituindo os números:
    E_{x2}^+(z,t)\approx 97{,}77\,\exp(-0{,}78615\,z)\cos\!\big(10^{8}t - 1{,}27155\,z + 0{,}2923\big)\\ [\mathrm{V/m}].
  • Para H_{y2}^+(z,t) (no mesmo sentido \hat{y} que a regra \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}):
    H_{y2}^+(z,t)=|H_{0}^{t}|\exp(-\alpha_2 z)\cos\!\big(\omega t - \beta_2 z + \angle H_{0}^{t}\big),
    numericamente:
    H_{y2}^+(z,t)\approx 0{,}2925\,\exp(-0{,}78615\,z)\cos\!\big(10^{8}t - 1{,}27155\,z - 0{,}258\big)\\ [\mathrm{A/m}].
(Nas expressões acima os argumentos das cossenos estão em radianos; os ângulos de fase \angle E_{0}^{t} e \angle H_{0}^{t} foram obtidos a partir dos fasores calculados.)

Passo 10

(e) Distância para reduzir a amplitude transmitida a 1\%.
  • A atenuação em amplitude segue \exp(-\alpha_2 z). Queremos \exp(-\alpha_2 z)=0{,}01. z=\frac{\ln(100)}{\alpha_2}=\frac{4{,}605170}{\alpha_2}.
  • Substituindo \alpha_2\approx 0{,}78615\\ \mathrm{Np/m}: z\approx \frac{4{,}605170}{0{,}78615}\approx 5{,}86\\ \mathrm{m}.
Interpretação: após cerca de 5{,}86\\ \mathrm{m} na região 2 a amplitude da onda é 1\% da amplitude em z=0^+.

Resposta

(a) \alpha_1=0,\qquad \beta_1\approx 0{,}33356\\ \mathrm{rad/m}.
(b) \displaystyle \Gamma\approx -0{,}0645 + j\,0{,}2839,\quad |\Gamma|\approx 0{,}2911,\quad \angle\Gamma\approx 102{,}9^\circ\\ (\approx 1{,}797\\ \mathrm{rad}).
(c) \mathrm{SWR}\approx 1{,}82.
(d) Campos refletidos (região 1, z<0):
E_{x1}^-(z,t)\approx 29{,}11\cos\!\big(10^{8}t + 0{,}33356\,z + 1{,}797\big)\\ [\mathrm{V/m}],
H_{y1}^-(z,t)\approx -0{,}07727\cos\!\big(10^{8}t + 0{,}33356\,z + 1{,}797\big)\\ [\mathrm{A/m}].
Campos transmitidos (região 2, z>0):
E_{x2}^+(z,t)\approx 97{,}77\,e^{-0{,}78615\,z}\cos\!\big(10^{8}t - 1{,}27155\,z + 0{,}2923\big)\\ [\mathrm{V/m}],
H_{y2}^+(z,t)\approx 0{,}2925\,e^{-0{,}78615\,z}\cos\!\big(10^{8}t - 1{,}27155\,z - 0{,}258\big)\\ [\mathrm{A/m}].
(e) z\approx 5{,}86\\ \mathrm{m}.

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