Definimos a função derivada por meio do limite
f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h
Determine, utilizando tal definição, a derivada da função f(x)=sen(x) e a derivada da função g(x)=cos (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição de derivada por limite, as derivadas de f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x). O conteúdo é derivada de funções trigonométricas, e vamos precisar das identidades de soma de ângulos e dos limites fundamentais limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

Para f(x)=sen(x), escrevemos o quociente de diferença:
f'(x)=limhto0sin(x+h)-sin(x)h
Aplicamos a identidade de soma de ângulos:
sin(x+h)=sin xcos h+cos xsin h
Então
sin(x+h)-sin x=sin x(cos h-1)+cos xsin h

Passo 3

Separamos em dois limites e usamos os limites trigonométricos:
f'(x)=limhto0gl[sin xcos h-1h+cos xsin hhgr];=;sin xcdot0+cos xcdot1=cos x

Passo 4

Para g(x)=cos(x), repetimos o processo:
g'(x)=limhto0cos(x+h)-cos(x)h
Usamos a identidade
cos(x+h)=cos xcos h-sin xsin h,
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cos(x+h)-cos x=cos x(cos h-1)-sin xsin h

Passo 5

Separamos os termos e aplicamos os limites conhecidos:
g'(x)=limhto0gl[cos xcos h-1h-sin xsin hhgr];=;cos xcdot0-sin xcdot1=-sin x

Resposta

f’(x)=\cos(x) e g’(x)=-\sin(x)

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