Calcule a derivada das funções a seguir.
f(x)=2^xx^2+x+1

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular a derivada da função f(x)=2^xx^2+x+1. O conteúdo envolvido é a regra do quociente e a derivada de uma exponencial de base 2. Para resolver, vamos precisar saber que ddx2^x=2^xln(2) e a regra do quociente, que diz que para f(x)=u(x)v(x), vale f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções interna e externa: u(x)=2^x e v(x)=x^2+x+1. Calculamos suas derivadas: u'(x)=2^xln(2) e v'(x)=2x+1.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2=2^xln(2),(x^2+x+1)-2^x,(2x+1)(x^2+x+1)^2

Passo 4

Para simplificar, fatoramos 2^x no numerador:
f'(x)=2^xl(ln(2),(x^2+x+1)-(2x+1)r)(x^2+x+1)^2

Resposta

f'(x)=2^xl(ln(2),(x^2+x+1)-(2x+1)r)(x^2+x+1)^2

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