Definimos a soma de duas funções f e g como sendo a função
(f+g)(x):=f(x)+g(x), \quad \forall x \in \operatorname{dom}(f+g):=\operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) .
Observe que o domínio da função soma é a interseção dos domínio de f e g, pois para somar precisamos calcular f(x) e g(x).
Por exemplo, se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \backslash\{7\} \rightarrow \mathbb{R} são dadas por
f(x)=2 x^{2}-8, \quad g(x)=\frac{2}{x-7}
então (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2 x^{2}-8+\frac{2}{x-7}, para todo x \in \operatorname{dom}(f+g)=\mathbb{R} \backslash\{7\}. De maneira análoga definimos subtração, produto e quociente de duas funções. Neste último caso é importante excluir do domínio os pontos que anulam o denominador. Para f e g como acima, determine a expressão e domínio de
(f-g)(x):=f(x)-g(x)

Passo 1

O enunciado define as operações entre funções: para duas funções f e g, a subtração é dada por
(f-g)(x):=f(x)-g(x),
com domínio
\dom(f-g)=\dom(f)\cap\dom(g),
excetuando os pontos que anulem denominadores. Aqui temos
f(x)=2x^2-8,\quad \dom(f)=\mathbb{R},
g(x)=\frac{2}{x-7},\quad \dom(g)=\mathbb{R}\setminus\{7\}.
Precisamos achar a expressão de (f-g)(x) e seu domínio.

Passo 2

Aplicando a definição,
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-8-\frac{2}{x-7}.
Como \dom(f)=\mathbb{R} e \dom(g)=\mathbb{R}\setminus\{7\}, e ainda devemos excluir x=7 para não zerar o denominador, obtemos
\dom(f-g)=\mathbb{R}\cap\bigl(\mathbb{R}\setminus\{7\}\bigr)=\mathbb{R}\setminus\{7\}.

Resposta

(f-g)(x)=2x^2-8-\frac{2}{x-7}, \quad \dom(f-g)=\mathbb{R}\setminus\{7\}.

Exercícios relacionados