Definindo,
|mid: Z & N & a squigarrow|a|=lll a & se & a >= 0 -a & se & a <= 0
Prove que:
|a cdot b|=|a| cdot|b| forall a, b in Z

Passo 1

O enunciado define a função valor absoluto
e pede para provar que
Vamos usar as regras de sinal na multiplicação de inteiros e a definição de e .

Passo 2

Caso em que pelo menos um dos fatores é zero. Se a=0 então acdot b=0, logo
|acdot b|=|0|=0,
e também
|a|cdot|b|=|0|cdot|b|=0cdot|b|=0
O mesmo raciocínio vale se b=0. Portanto, a igualdade vale sempre que a=0 ou b=0.

Passo 3

Caso a>0 e b>0. Aqui acdot b>0, então
|acdot b| = acdot b,
enquanto
|a|=a, |b|=b Longrightarrow |a|cdot|b| = acdot b
Logo |acdot b| = |a|cdot|b|.

Passo 4

Caso em que os sinais são opostos: ou a>0, b<0, ou a<0, b>0. Sem perda de generalidade, suponha a>0 e b<0. Então acdot b<0, portanto
|acdot b| = -(acdot b)
Além disso
|a| = a, |b| = -b Longrightarrow |a|cdot|b| = acdot(-b) = -(acdot b)
O caso a<0, b>0 é idêntico por simetria. Logo também temos |acdot b| = |a|cdot|b|.

Passo 5

Caso a<0 e b<0. Então acdot b>0, de modo que
|acdot b| = acdot b
Por outro lado,
|a| = -a, |b| = -b Longrightarrow |a|cdot|b| = (-a)cdot(-b) = acdot b
Novamente obtemos |acdot b| = |a|cdot|b|.

Passo 6

Como cobrimos todos os casos possíveis ( a=0 ou b=0; a,b>0; sinais opostos; a,b<0) e em cada caso mostramos que
|acdot b| = |a|cdot|b|,
concluímos que a igualdade vale para todos a,binZ.

Resposta

Para todo a,binZ vale
|acdot b| = |a|cdot|b|

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