Definindo,
Prove que:
|a cdot b|=|a| cdot|b| forall a, b in Z
Passo 1
O enunciado define a função valor absoluto
e pede para provar que
Vamos usar as regras de sinal na multiplicação de inteiros e a definição de e
.
Passo 2
Caso em que pelo menos um dos fatores é zero. Se
a=0 então
acdot b=0 , logo
e também
O mesmo raciocínio vale se
b=0 . Portanto, a igualdade vale sempre que
a=0 ou
b=0 .
Passo 3
Caso
a>0 e
b>0 . Aqui
acdot b>0 , então
enquanto
Logo
|acdot b| = |a|cdot|b| .
Passo 4
Caso em que os sinais são opostos: ou
a>0 ,
b<0 , ou
a<0 ,
b>0 . Sem perda de generalidade, suponha
a>0 e
b<0 . Então
acdot b<0 , portanto
Além disso
O caso
a<0 ,
b>0 é idêntico por simetria. Logo também temos
|acdot b| = |a|cdot|b| .
Passo 5
Caso
a<0 e
b<0 . Então
acdot b>0 , de modo que
Por outro lado,
Novamente obtemos
|acdot b| = |a|cdot|b| .
Passo 6
Como cobrimos todos os casos possíveis (
a=0 ou
b=0 ;
a,b>0 ; sinais opostos;
a,b<0 ) e em cada caso mostramos que
concluímos que a igualdade vale para todos
a,binZ .
Resposta
Para todo
a,binZ vale