Seja T: M2(R) M2(R), definida por T(ccx & y z & w)=(cc2 x & 0 -z & y+w).
I) Determine:
a) N(T) e Im(T).
b) N(T) cap Im(T).
c) dim(N(T)+Im(T)).
II) Verifique se M2(R)=N(T) oplus Im(T).

Passo 1

O enunciado define Tcolon M2(R)to M2(R) por
T!l(x & y z & wr) = 2x & 0 -z & y+w
Queremos encontrar (a) o núcleo N(T) e a imagem Im(T), (b) a interseção N(T)capIm(T), (c) a dimensão de N(T)+Im(T) e, em II, verificar se
M2(R)=N(T)oplusIm(T)
Vamos usar definição de núcleo (solução de T(M)=0) e caracterização da imagem por valores possíveis de ,2x,,-z,,y+w.

Passo 2

Para achar N(T)=Mmid T(M)=0, imponho
T!l(x & y z & wr) = 2x & 0 -z & y+w = 0 & 0 0 & 0
Isso dá o sistema
2x=0, -z=0, y+w=0,
logo x=0, z=0 e w=-y. Assim
N(T) =l0 & y0 & -ym|yinRr =spanl0 & 10 & -1r

Passo 3

Para Im(T)=T(M)mid Min M2(R), note que dados x,y,z,w os três parâmetros
a=2x, b=-z, c=y+w
podem assumir qualquer valor real. Logo
Im(T) =la & 0 b & cm|a,b,cinRr =span!l1&00&0, 0&01&0, 0&00&1r

Passo 4

Para , uma matriz em tem forma e em tem forma . Igualando entradas, da posição vem e da vem , ou seja . Logo a única matriz comum é a nula:

Passo 5

Usando a fórmula de dimensão de soma de subespaços em espaços finito-dimensionais,
diml(N(T)+Im(T)r) =dimN(T)+dimIm(T)-diml(N(T)capIm(T)r)
Como dimN(T)=1, dimIm(T)=3 e dim(NcapIm)=0, obtemos
diml(N(T)+Im(T)r)=1+3-0=4

Passo 6

Em M2(R) temos dim M2(R)=4. Vimos que
N(T)+Im(T) tem dimensão 4 (logo é todo M2( R)) e que N(T)capIm(T)=0. Esses dois fatos implicam
M2(R)=N(T)oplusIm(T)

Resposta

a)
b)
c)
II) Sim, .

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