Seja
, definida por
.
I) Determine:
a)
N(T) e
Im(T) .
b)
N(T) cap Im(T) .
c)
dim(N(T)+Im(T)) .
II) Verifique se
M2(R)=N(T) oplus Im(T) .
I) Determine:
a)
b)
c)
II) Verifique se
Passo 1
O enunciado define
Tcolon M2(R)to M2(R) por
Queremos encontrar (a) o núcleo
N(T) e a imagem
Im(T) , (b) a interseção
N(T)capIm(T) , (c) a dimensão de
N(T)+Im(T) e, em II, verificar se
Vamos usar definição de núcleo (solução de
T(M)=0 ) e caracterização da imagem por valores possíveis de
,2x,,-z,,y+w .
Passo 2
Para achar
N(T)=Mmid T(M)=0 , imponho
Isso dá o sistema
logo
x=0 ,
z=0 e
w=-y . Assim
Passo 3
Para
Im(T)=T(M)mid Min M2(R) , note que dados
x,y,z,w os três parâmetros
podem assumir qualquer valor real. Logo
Passo 4
Para
, uma matriz em
tem forma
e em
tem forma . Igualando entradas, da posição
vem
e da
vem
, ou seja
. Logo a única matriz comum é a nula:
Passo 5
Usando a fórmula de dimensão de soma de subespaços em espaços finito-dimensionais,
Como
dimN(T)=1 ,
dimIm(T)=3 e
dim(NcapIm)=0 , obtemos
Passo 6
Em
M2(R) temos
dim M2(R)=4 . Vimos que
N(T)+Im(T) tem dimensão
4 (logo é todo
M2( R) ) e que
N(T)capIm(T)=0 . Esses dois fatos implicam
Resposta
a)
b)
c)
II) Sim, .
b)
c)
II) Sim,