A curva R de um determinado material pode ser expressa por:
R=\frac{K_{I C}^{2}}{E}+3\left(a-a_{o}\right)^{0,1} \quad\left(\frac{M N}{m}\right)
Uma chapa desse material apresenta uma trinca central de comprimento 2 \mathrm{a}_{\mathrm{o}}=60 mm e apresenta, antes da ruptura, um crescimento máximo e estável de 33,1 \mathrm{~mm} para cada lado da trinca original. Determine os valores de tensão e o fator de intensificação de tensões críticos.
Dados: \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=150 \mathrm{MPa}(\mathrm{m})^{0,5}, \mathrm{E}=210 \mathrm{GPa}, \mathrm{f}(\mathrm{a} / \mathrm{W})=1.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine (1) a tensão crítica e (2) o fator de intensificação de tensões crítico, sabendo que a curva de resistência do material é dada por
R=\frac{K_{IC}^{2}}{E}+3\left(a-a_{0}\right)^{0,1}\quad(\mathrm{MN}/\mathrm{m}).
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &2a_{0}=60\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{crescimento estável por lado}=33,1\\ \mathrm{mm},\\\ &K_{IC}=150\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{0,5},\\\ &E=210\\ \mathrm{GPa},\\\ &f(a/W)=1. \end{aligned}á
Portanto as perguntas são: qual a tensão crítica (σ_{cr}) e qual o fator de intensificação de tensões crítico (K_{cr}) correspondentes ao comprimento final da trinca antes da ruptura.

Passo 2

Explicação das relações fundamentais (aulas rápidas e necessárias para a prova):
  • A energia de liberação por unidade de área (denotada por G) para fratura linear elástica relaciona-se com o fator de intensidade de tensões K por
G=\frac{K^{2}}{E},
quando estamos em condição de plano tensão simples (a fórmula adotada no enunciado usa E diretamente).
  • Para uma trinca central em placa infinita (ou quando f(a/W)=1), o fator de intensidade de tensões devido a uma tensão nominal \sigma é
K=\sigma\sqrt{\pi a},
onde a é o semi-comprimento da trinca (metade do comprimento total da trinca).
  • A condição de equilíbrio para crescimento estável quando a trinca alcança um certo tamanho a é que a energia liberada G seja igual à resistência R(a) do material:
\frac{K^{2}}{E}=R(a).
Substituindo K=\sigma\sqrt{\pi a} obtemos a expressão prática para a tensão crítica:
\sigma_{\text{cr}}=\sqrt{\frac{E\,R(a)}{\pi a}}.
Outra forma útil, diretamente do balanço, é
K_{\text{cr}}=\sqrt{E\,R(a)},
pois K^{2}=E\,R. Vou usar essas fórmulas para calcular \sigma_{\text{cr}} e K_{\text{cr}}.

Passo 3

Calcular os comprimentos iniciais e finais da trinca em metros:
\begin{aligned} &a_{0}=\frac{2a_{0}}{2}=\frac{60\\ \mathrm{mm}}{2}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m},\\\ &\text{crescimento por lado}=33,1\\ \mathrm{mm}=0,0331\\ \mathrm{m},\\\ &a=a_{0}+0,0331=0,03+0,0331=0,0631\\ \mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 4

Calcular R(a) usando a expressão dada. Vou avaliar os dois termos separadamente e manter unidades consistentes (MN/m para R).
Primeiro termo:
\frac{K_{IC}^{2}}{E}=\frac{(150\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{0,5})^{2}}{210\\ \mathrm{GPa}}.
Converter unidades mentalmente: usar MPa e GPa diretamente com relação:
\frac{(150)^{2}}{210000}\\ \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}=(0,107142857\ldots)\\ \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}.
Como 1\\ \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}=10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}=1\\ \mathrm{MN}/\mathrm{m}, isso equivale a
\frac{K_{IC}^{2}}{E}\approx0,107142857\\ \mathrm{MN}/\mathrm{m}.
Segundo termo:
3\left(a-a_{0}\right)^{0,1}=3\left(0,0631-0,03\right)^{0,1}=3\left(0,0331\right)^{0,1}.
Calcular \left(0,0331\right)^{0,1}. Tomando logaritmo ou usando cálculo numérico rápido:
(0,0331)^{0,1}\approx0,7115,
portanto
3(0,0331)^{0,1}\approx3\cdot0,7115=2,1345\\ \mathrm{MN}/\mathrm{m}.
Somando os termos:
R(a)\approx0,107142857+2,1345=2,241642857\\ \mathrm{MN}/\mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
R(a)\approx2,24164\\ \mathrm{MN}/\mathrm{m}.
Para usar nas fórmulas em unidades SI, converto para \mathrm{N}/\mathrm{m}:
R(a)=2,24164\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a tensão crítica usando
\sigma_{\text{cr}}=\sqrt{\frac{E\,R(a)}{\pi a}}.
Substituindo os valores (usar E=210\\ \mathrm{GPa}=210\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, R(a)=2,24164\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}, a=0,0631\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} \sigma_{\text{cr}}&=\sqrt{\frac{210\times10^{9}\cdot(2,24164\times10^{6})}{\pi\cdot0,0631}}\\[4pt] &=\sqrt{\frac{4,70745\times10^{17}}{0,1982345\ldots}}\\[4pt] &\approx\sqrt{2,37453\times10^{18}}\\[4pt] &\approx1,54111\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
Convertendo para \mathrm{MPa} ( 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}):
\sigma_{\text{cr}}\approx1541,1\\ \mathrm{MPa}.]

Passo 6

Calcular o fator de intensificação de tensões crítico. Podemos usar diretamente
K_{\text{cr}}=\sqrt{E\,R(a)}.
Substituindo E e R(a):
K_{\text{cr}}=\sqrt{210\times10^{9}\cdot2,24164\times10^{6}} =\sqrt{4,70745\times10^{17}}\approx6,86211\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{0,5}.
Converter para unidades usuais \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{0,5} dividindo por 10^{6}:
K_{\text{cr}}\approx686,2\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{0,5}.
Verificação rápida: usando K=\sigma\sqrt{\pi a} com \sigma_{\text{cr}} obtido dá aproximadamente o mesmo valor.

Resposta

\sigma_{\text{cr}}\approx1541{,}1\\ \mathrm{MPa}
K_{\text{cr}}\approx686{,}2\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{0,5}

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