A curva R de um determinado material pode ser expressa por:
Uma chapa desse material apresenta uma trinca central de comprimento
mm e apresenta, antes da ruptura, um crescimento máximo e estável de
para cada lado da trinca original. Determine os valores de tensão e o fator de intensificação de tensões críticos.
Dados:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine (1) a tensão crítica e (2) o fator de intensificação de tensões crítico, sabendo que a curva de resistência do material é dada por
Dados fornecidos:
Portanto as perguntas são: qual a tensão crítica (σ_{cr}) e qual o fator de intensificação de tensões crítico (K_{cr}) correspondentes ao comprimento final da trinca antes da ruptura.
Passo 2
Explicação das relações fundamentais (aulas rápidas e necessárias para a prova):
- A energia de liberação por unidade de área (denotada por
) para fratura linear elástica relaciona-se com o fator de intensidade de tensões por
quando estamos em condição de plano tensão simples (a fórmula adotada no enunciado usa
diretamente).
- Para uma trinca central em placa infinita (ou quando
), o fator de intensidade de tensões devido a uma tensão nominal é
onde
é o semi-comprimento da trinca (metade do comprimento total da trinca).
- A condição de equilíbrio para crescimento estável quando a trinca alcança um certo tamanho
é que a energia liberada seja igual à resistência do material:
Substituindo
obtemos a expressão prática para a tensão crítica:
Outra forma útil, diretamente do balanço, é
pois
. Vou usar essas fórmulas para calcular
e
.
Passo 3
Calcular os comprimentos iniciais e finais da trinca em metros:
Passo 4
Calcular
usando a expressão dada. Vou avaliar os dois termos separadamente e manter unidades consistentes (MN/m para
).
Primeiro termo:
Converter unidades mentalmente: usar MPa e GPa diretamente com relação:
Como
, isso equivale a
Segundo termo:
Calcular
. Tomando logaritmo ou usando cálculo numérico rápido:
portanto
Somando os termos:
Arredondando razoavelmente:
Para usar nas fórmulas em unidades SI, converto para
:
Passo 5
Calcular a tensão crítica usando
Substituindo os valores (usar
,
,
):
Convertendo para
(
):
Passo 6
Calcular o fator de intensificação de tensões crítico. Podemos usar diretamente
Substituindo
e
:
Converter para unidades usuais
dividindo por
:
Verificação rápida: usando
com
obtido dá aproximadamente o mesmo valor.