Um degrau de magnitude 3 é aplicado num sistema que apresenta a seguinte função de transferência:
y(s)u(s)=102 cdot s^2+0,3 cdot s+0,5
(a) O sistema é estável? O sistema oscila? Justifique suas respostas.
(b) Qual o valor último da resposta?

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
hat y(s)hat u(s) = 102,s^2 + 0,3,s + 0,5
e aplica um degrau de magnitude 3. Precisamos analisar estabilidade (polos), se há oscilação (parte imaginária dos polos) e usar o Teorema do Valor Final para achar o valor último da saída.

Passo 2

Para verificar estabilidade e oscilação, achamos os polos resolvendo
2,s^2 + 0,3,s + 0,5 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
s = -0,3 pm raiz(0,3)^2 - 4cdot 2cdot 0,52cdot 2 = -0,3 pm raiz0,09 - 44 = -0,3 pm jraiz3,914
Isso dá polos em
s1,2 = -0,075 pm j,0,494
Como a parte real é negativa ( -0,075<0), o sistema é estável. Como há parte imaginária não nula ( pm j,0,494), a resposta é oscilatória (underdamped).

Passo 3

Para o degrau de magnitude 3, U(s)=3/s. Logo
Y(s)=102s^2+0,3s+0,5;3s =30s,(2s^2+0,3s+0,5)
Pelo Teorema do Valor Final,
limttoinftyy(t) =limsto0s,Y(s) =limsto0302s^2+0,3s+0,5 =300,5 =60

Resposta

(a) O sistema é estável e oscila (polos com parte real negativa e imaginação não nula).
(b) O valor último da resposta é 60.

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