Seja o sistema de 1^a ordem (em desvio) apresentado pela equação abaixo:
2 cdot dy(t)dt=4 cdot u(t)-3 cdot y(t)
(a) Qual o valor dos parâmetros K e tau do sistema? (Resp.: tau =2 / 3 e K=4 / 3 )
(b) Perturbando-se a entrada u(t) com um impulso de amplitude 2, qual o valor máximo e o valor mínimo que a saída y(t) terá e em quais valores de tempo?
(Resp.: Max =4 em t=0^+e Min =0 em t= infinito)

Passo 1

O enunciado dá um sistema de primeira ordem em desvio definido por
2;dy(t)dt ;=;4,u(t);-;3,y(t)
e pede:
(a) os parâmetros de ganho estático K e constante de tempo tau;
(b) ao aplicar um impulso de amplitude 2 na entrada u(t), determinar o valor máximo e mínimo da saída y(t) e em que instantes isso ocorre.

Passo 2

Transformamos a equação diferencial na forma padrão
dy(t)dt + a,y(t) = b,u(t)
Dividindo ambos os lados por 2:
dy(t)dt + 32,y(t) = 2,u(t)
Daí identificamos
a = 32, b = 2

Passo 3

Para um sistema de primeira ordem em forma de desvio, temos
tau = 1a, K=ba
Substituindo a e b:
tau = 13/2 = 23, K = 23/2 = 43

Passo 4

A função de transferência do sistema é
G(s)=Y(s)U(s)=Ktau s +1 =tfrac43tfrac23,s+1
O impulso de entrada vale u(t)=2,de<a(t), logo a resposta é
y(t)=2;g(t), g(t)=L^-1G(s)=Ktaue^-t/tau
Assim
y(t) =2;Ktau,e^-t/tau =2;tfrac43tfrac23,e^-t/(tfrac23) =4,e^-tfrac32t

Passo 5

A curva y(t)=4,e^-3t/2 atinge seu valor máximo justo após o impulso, em t=0^+, valendo
y(0^+)=4cdot e^0=4
À medida que ttoinfty, o expoente vai a -infty e
y(t)to 0,
que é o valor mínimo.

Resposta

(a) tau=tfrac23 e K=tfrac43
(b) Valor máximo 4 em t=0^+; valor mínimo 0 em ttoinfty.

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