O sistema de primeira ordem com atraso dado abaixo é perturbado com um degrau de amplitude A=2. Qual o valor do tempo para que a resposta alcance 99 % do valor último?
G(s)=3 cdot e^-2 cdot s4 cdot s+1

Passo 1

O enunciado dá um sistema de primeira ordem com atraso
G(s)=3,e^-2s4s+1
perturbado por um degrau de amplitude A=2. Precisamos calcular o tempo em que a resposta atinge 99% do valor último. O conteúdo aqui é a resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem com atraso.

Passo 2

Para um sistema de primeira ordem sem atraso, a constante de tempo é
tau = 4
e o ganho estático (DC gain) é
k = 31 = 3
Com entrada de degrau de amplitude A=2, o valor último é
yinfty = A cdot k = 2 cdot 3 = 6
O atraso do sistema é theta = 2.

Passo 3

A resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem com atraso satisfaz, para t >= theta:
y(t) = yinftyl(1 - e^-(t-theta)/taur)

Passo 4

Queremos y(t) = 0,99,yinfty. Então
1 - e^-(t-theta)/tau = 0,99 Longrightarrow e^-(t-theta)/tau = 0,01 Longrightarrow t-thetatau = -ln(0,01) = ln(100)

Passo 5

Substituindo theta=2, tau=4 e ln(100)approx4,605, temos
t = 2 + 4 cdot ln(100) = 2 + 4 times 4,605 approx 20,42
s

Resposta

t approx 20,42 s

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