(deGroot adaptado) Suponha que em certo processo de produção de rolos de tecido seja esperado que ocorram 0,4 defeitos por rolo. Se uma amostra aleatória de 5 rolos de tecido é inspecionada, qual é a probabilidade de que o número total de defeitos nos cinco rolos seja pelo menos 6 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Espera-se 0,4 defeitos por rolo de tecido.
  • Foi inspecionada uma amostra aleatória de 5 rolos.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que o número total de defeitos nos cinco rolos seja pelo menos 6? Ou seja, queremos \Pr(X \ge 6), onde X é o número total de defeitos nos 5 rolos.

Passo 2

Escolhendo um modelo e explicando por que ele é apropriado (aula rápida, calma que eu explico):
  • Quando lidamos com contagens de eventos raros (defeitos) que ocorrem independentemente em unidades (rolos), um modelo natural é a distribuição de Poisson.
  • A distribuição de Poisson tem a seguinte função massa de probabilidade: para uma variável aleatória Y com parâmetro \lambda (média esperada),
\Pr(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
onde e é a base dos logaritmos naturais e k! é o fatorial de k.
  • Importante: se cada rolo produz uma contagem de defeitos que pode ser modelada por uma Poisson com média \lambda_i, e essas contagens são independentes entre rolos, então a soma das Poissons é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros:
\text{Se }Y_i\sim\operatorname{Poisson}(\lambda_i)\text{ independentes, então }\sum_i Y_i\sim\operatorname{Poisson}\!\Big(\sum_i \lambda_i\Big).ã
  • Aqui: como a expectativa é 0,4 defeitos por rolo e examinamos 5 rolos independentes, faz sentido modelar o total X como Poisson com parâmetro igual à soma das médias dos rolos (explico o cálculo no passo seguinte).

Passo 3

Calcular o parâmetro total da Poisson:
  • Cada rolo tem expectativa 0,4. Para 5 rolos independentes, o parâmetro total é
\lambda = 5 \times 0,4 = 2.
  • Portanto assumimos X\sim\operatorname{Poisson}(2). Aqui \lambda=2 é a média esperada do número total de defeitos nos cinco rolos.

Passo 4

Escrever a probabilidade pedida em termos da função massa da Poisson:
  • Queremos \Pr(X\ge 6). É mais fácil calcular o complementar:
\Pr(X\ge 6)=1-\Pr(X\le 5)=1-\sum_{k=0}^{5} \Pr(X=k).
  • Usando a fórmula da Poisson com \lambda=2:
\Pr(X\ge 6)=1-\sum_{k=0}^{5} e^{-2}\frac{2^{k}}{k!}.

Passo 5

Calcular os termos individuais \Pr(X=k)=e^{-2}\dfrac{2^{k}}{k!} para k=0,1,\dots,5, explicando cada passo:
  • Primeiro, um valor útil: e^{-2}\approx 0,135335283. Vou usar essa aproximação para as contas manuais.
  • Para k=0:
\Pr(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\cdot 1 \approx 0,135335283.
  • Para k=1:
\Pr(X=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot 2 \approx 0,270670566.
  • Para k=2:
\Pr(X=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=e^{-2}\cdot \frac{4}{2}=e^{-2}\cdot 2 \approx 0,270670566.
(observe que \Pr(X=1)=\Pr(X=2) nesse caso porque as fórmulas deram o mesmo valor numérico)
  • Para k=3:
\Pr(X=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=e^{-2}\cdot \frac{8}{6}=e^{-2}\cdot \tfrac{4}{3}\approx 0,180447044.
  • Para k=4:
\Pr(X=4)=e^{-2}\frac{2^{4}}{4!}=e^{-2}\cdot \frac{16}{24}=e^{-2}\cdot \tfrac{2}{3}\approx 0,090223522.
  • Para k=5:
\Pr(X=5)=e^{-2}\frac{2^{5}}{5!}=e^{-2}\cdot \frac{32}{120}=e^{-2}\cdot \tfrac{8}{30}\approx 0,036089409.

Passo 6

Somar os termos até k=5 e calcular o complementar:
  • Somando os valores aproximados:
\begin{aligned} \Pr(X\le 5)&=\sum_{k=0}^{5}\Pr(X=k)\\\ &\approx 0,135335283+0,270670566+0,270670566+0,180447044+0,090223522+0,036089409\\\ &\approx 0,983436391. \end{aligned}
  • Portanto
\Pr(X\ge 6)=1-\Pr(X\le 5)\approx 1-0,983436391=0,016563609.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final:
  • A probabilidade de observar pelo menos 6 defeitos nos 5 rolos é aproximadamente 0,0166, isto é, cerca de 1,66\%.
  • Dica para prova: sempre verifique se é razoável usar Poisson (eventos raros e independentes); calcule o parâmetro total somando as médias; depois use a fórmula e, quando for “pelo menos” um valor alto, é comum usar o complementar e somar até o valor anterior.

Resposta

0,01656

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