(deGroot adaptado) Suponha que em certo processo de produção de rolos de tecido seja esperado que ocorram 0,4 defeitos por rolo. Se uma amostra aleatória de 5 rolos de tecido é inspecionada, qual é a probabilidade de que o número total de defeitos nos cinco rolos seja pelo menos 6 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Espera-se
defeitos por rolo de tecido. - Foi inspecionada uma amostra aleatória de
rolos. - Pergunta: qual a probabilidade de que o número total de defeitos nos cinco rolos seja pelo menos
? Ou seja, queremos , onde é o número total de defeitos nos rolos.
Passo 2
Escolhendo um modelo e explicando por que ele é apropriado (aula rápida, calma que eu explico):
- Quando lidamos com contagens de eventos raros (defeitos) que ocorrem independentemente em unidades (rolos), um modelo natural é a distribuição de Poisson.
- A distribuição de Poisson tem a seguinte função massa de probabilidade: para uma variável aleatória
com parâmetro (média esperada),
onde
é a base dos logaritmos naturais e
é o fatorial de
.
- Importante: se cada rolo produz uma contagem de defeitos que pode ser modelada por uma Poisson com média
, e essas contagens são independentes entre rolos, então a soma das Poissons é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros:
- Aqui: como a expectativa é
defeitos por rolo e examinamos rolos independentes, faz sentido modelar o total como Poisson com parâmetro igual à soma das médias dos rolos (explico o cálculo no passo seguinte).
Passo 3
Calcular o parâmetro total da Poisson:
- Cada rolo tem expectativa
. Para rolos independentes, o parâmetro total é
- Portanto assumimos
. Aqui é a média esperada do número total de defeitos nos cinco rolos.
Passo 4
Escrever a probabilidade pedida em termos da função massa da Poisson:
- Queremos
. É mais fácil calcular o complementar:
- Usando a fórmula da Poisson com
:
Passo 5
Calcular os termos individuais
para
, explicando cada passo:
- Primeiro, um valor útil:
. Vou usar essa aproximação para as contas manuais. - Para
:
- Para
:
- Para
:
(observe que
nesse caso porque as fórmulas deram o mesmo valor numérico)
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Somar os termos até
e calcular o complementar:
- Somando os valores aproximados:
- Portanto
Passo 7
Interpretação e arredondamento final:
- A probabilidade de observar pelo menos
defeitos nos rolos é aproximadamente , isto é, cerca de . - Dica para prova: sempre verifique se é razoável usar Poisson (eventos raros e independentes); calcule o parâmetro total somando as médias; depois use a fórmula e, quando for “pelo menos” um valor alto, é comum usar o complementar e somar até o valor anterior.