Qual é a probabilidade de que o número de organismos em
de descarga exceda seu valor médio em mais de um desvio padrão?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é a probabilidade de que o número de organismos em
de descarga exceda seu valor médio em mais de um desvio padrão?”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O volume considerado é
. - Pede-se a probabilidade do número de organismos nessa amostra exceder o seu valor médio em mais de um desvio padrão.
Não foi dado um número explícito para a média nem a distribuição. Vou assumir o modelo clássico para contagem de indivíduos em um volume (modelo usual em muitos problemas): o número de organismos segue uma distribuição de Poisson na região considerada. Isso significa que há um único parâmetroque representa a média do número de organismos em . (Se houver taxa por chamada , então .)
Passo 2
Explicar o que implica assumir Poisson e relacionar média e desvio padrão.
Para uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro
:
Para uma variável aleatória
O desvio padrão é a raiz da variância, portanto
O enunciado pede a probabilidade de que
exceda seu valor médio em mais de um desvio padrão, ou seja o evento
Passo 3
Tratar da discreção dos contagens e converter o evento em soma de probabilidades.
Como é discreta (valores inteiros
), a condição
equivale a
, onde
Como
é a parte inteira (piso) de
. Assim a probabilidade procurada é
Passo 4
Escrever a fórmula exata usando a função massa de probabilidade da Poisson.
A função massa da Poisson é
A função massa da Poisson é
Portanto a resposta exata é
onde
e
é a média do número de organismos em
(ou seja
se for dada uma taxa
por
).
Passo 5
Como calcular isso na prática (sem pular etapas):
- Método exato: calcular a soma parcial
(por exemplo com calculadora científica, tabelas, Excel, R ou Python) e subtrair de 1. Em R a probabilidade é obtida por . Em Python (scipy) por . - Aproximação normal (quando
for grande, ex.: ): usar . Aplicar correção de continuidade e calcular
e aproximar
onde
é a função de distribuição da normal padrão. Essa aproximação costuma ser bastante boa para médias grandes.
Passo 6
Exemplo ilustrativo (apenas para ver como aplicar; não é parte da resposta se
não for dado): suponha
(média em
). Então
,
,
. A probabilidade exata seria
Usando aproximação normal:
e a probabilidade aproximada é
. Isso mostra o procedimento numérico.
Resposta
onde
é a média do número de organismos em
(ou
se for dada a taxa
por
).