Qual é a probabilidade de que o número de organismos em 1,5 \mathrm{~m}^{3} de descarga exceda seu valor médio em mais de um desvio padrão?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a probabilidade de que o número de organismos em 1,5\\ \mathrm{m}^{3} de descarga exceda seu valor médio em mais de um desvio padrão?”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O volume considerado é 1,5\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Pede-se a probabilidade do número de organismos nessa amostra exceder o seu valor médio em mais de um desvio padrão.
    Não foi dado um número explícito para a média nem a distribuição. Vou assumir o modelo clássico para contagem de indivíduos em um volume (modelo usual em muitos problemas): o número de organismos segue uma distribuição de Poisson na região considerada. Isso significa que há um único parâmetro \mu que representa a média do número de organismos em 1,5\\ \mathrm{m}^{3}. (Se houver taxa por \mathrm{m}^{3} chamada \lambda, então \mu=\lambda\cdot 1,5.)

Passo 2

Explicar o que implica assumir Poisson e relacionar média e desvio padrão.
Para uma variável aleatória X com distribuição de Poisson com parâmetro \mu:
\mathbb{E}[X]=\mu,\qquad \mathrm{Var}(X)=\mu.
O desvio padrão é a raiz da variância, portanto
\sigma=\sqrt{\mu}.
O enunciado pede a probabilidade de que X exceda seu valor médio em mais de um desvio padrão, ou seja o evento
X > \mu+\sigma = \mu+\sqrt{\mu}.

Passo 3

Tratar da discreção dos contagens e converter o evento em soma de probabilidades.
Como X é discreta (valores inteiros 0,1,2,\dots), a condição X>\mu+\sqrt{\mu} equivale a X\ge m+1, onde
m=\left\lfloor \mu+\sqrt{\mu}\right\rfloor
é a parte inteira (piso) de \mu+\sqrt{\mu}. Assim a probabilidade procurada é
\mathbb{P}\bigl(X>\mu+\sqrt{\mu}\bigr)=\mathbb{P}(X\ge m+1)=\sum_{k=m+1}^{\infty}\mathbb{P}(X=k).

Passo 4

Escrever a fórmula exata usando a função massa de probabilidade da Poisson.
A função massa da Poisson é
\mathbb{P}(X=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!}\qquad (k=0,1,2,\dots).
Portanto a resposta exata é
\mathbb{P}\bigl(X>\mu+\sqrt{\mu}\bigr)=1-\sum_{k=0}^{m} e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde m=\left\lfloor \mu+\sqrt{\mu}\right\rfloor e \mu é a média do número de organismos em 1,5\\ \mathrm{m}^{3} (ou seja \mu=\lambda\cdot 1,5 se for dada uma taxa \lambda por \mathrm{m}^{3}).

Passo 5

Como calcular isso na prática (sem pular etapas):
  • Método exato: calcular a soma parcial \sum_{k=0}^{m} e^{-\mu}\dfrac{\mu^{k}}{k!} (por exemplo com calculadora científica, tabelas, Excel, R ou Python) e subtrair de 1. Em R a probabilidade é obtida por \texttt{1-ppois(m, mu)}. Em Python (scipy) por \texttt{1-poisson.cdf(m, mu)}.
  • Aproximação normal (quando \mu for grande, ex.: \mu\gtrsim 10): usar X\approx N(\mu,\mu). Aplicar correção de continuidade e calcular
z=\frac{m+0,5-\mu}{\sqrt{\mu}}
e aproximar
\mathbb{P}(X>m)=1-\Phi(z),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Essa aproximação costuma ser bastante boa para médias grandes.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (apenas para ver como aplicar; não é parte da resposta se \mu não for dado): suponha \mu=9 (média em 1,5\\ \mathrm{m}^{3}). Então \sigma=\sqrt{9}=3, \mu+\sigma=12, m=\lfloor 12\rfloor=12. A probabilidade exata seria
1-\sum_{k=0}^{12} e^{-9}\frac{9^{k}}{k!}.
Usando aproximação normal: z=(12+0,5-9)/3=3,5/3\approx1,1667 e a probabilidade aproximada é 1-\Phi(1,1667)\approx 0,12. Isso mostra o procedimento numérico.

Resposta

\mathbb{P}\bigl(X>\mu+\sqrt{\mu}\bigr)=1-\sum_{k=0}^{\left\lfloor \mu+\sqrt{\mu}\right\rfloor} e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde \mu é a média do número de organismos em 1,5\\ \mathrm{m}^{3} (ou \mu=\lambda\cdot 1,5 se for dada a taxa \lambda por \mathrm{m}^{3}).

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