(Degroot, ex. 4, pag 124) Suponha que a densidade conjunta das v.a.s X e Y seja:
Determine:
©
;
©
Passo 1
O exercício diz que temos duas v.a.s. contínuas X e Y com densidade conjunta
A gente quer calcular
Isso é teoria de variáveis contínuas: primeiro precisamos achar o valor de
para que a densidade seja válida (integre 1). Depois, identificar a região onde
e
, e por fim integrar
sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, determinamos
usando a condição de normalização
Como
só quando
e
, temos
Calculemos a integral interna:
Então
Passo 3
Agora precisamos de
Observa que a reta
cruza o suporte em
e
.
- Para
, temos , logo vai de a . - Para
, a parte engloba todo o suporte .
Dividimos em dois pedaços:
Passo 4
Substituindo
:
- Para
:
- Para
:
Somando,