(Degroot, ex. 4, pag 124) Suponha que a densidade conjunta das v.a.s X e Y seja:
fX Y(x, y)=l k(x^2+y), 0 <= y <= 1-x^2, 0, cc
Determine:
© P(Y;

Passo 1

O exercício diz que temos duas v.a.s. contínuas X e Y com densidade conjunta
fXY(x,y)= k,(x^2+y),&0<= y<= 1-x^2, 0,&caso contrário á
A gente quer calcular
Pl(Y
Isso é teoria de variáveis contínuas: primeiro precisamos achar o valor de para que a densidade seja válida (integre 1). Depois, identificar a região onde e , e por fim integrar sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, determinamos integral duplaR^2fXY(x,y),dx,dy=1 usando a condição de normalização
Como 1 =integralx=-1^1integraly=0^1-x^2k,(x^2+y),dy,dx só quando integral0^1-x^2(x^2+y),dy = l[x^2y + tfracy^22r]0^1-x^2 = x^2(1-x^2)+(1-x^2)^22 =1-x^42 e 1 = kintegral-1^11-x^42,dx = k;12integral-1^1(1-x^4),dx = k;12l[2-25r] = kcdot45 ;Longrightarrow; k=54 , temos
Calculemos a integral interna:
Então

Passo 3

Agora precisamos de
P(Y
Observa que a reta P =integralx=-1^0!integraly=0^x+1!fXY(x,y),dy,dx ;+; integralx=0^1!integraly=0^1-x^2!fXY(x,y),dy,dx cruza o suporte em e .
  • Para , temos , logo vai de a .
  • Para , a parte engloba todo o suporte .
Dividimos em dois pedaços:

Passo 4

Substituindo A =54 integral-1^0!l[integral0^x+1(x^2+y),dyr]dx =54 integral-1^0!l[x^2(x+1)+tfrac(x+1)^22r]dx =516 :
  1. Para B =54 integral0^1!l[integral0^1-x^2(x^2+y),dyr]dx =54integral0^11-x^42,dx =12 :
P(Y
  1. Para :
Somando,

Resposta

P(Y

Exercícios relacionados