(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que
e
são v.a.s. tais que o vetor aleatório
pertença ao retângulo contendo todos os pontos
e
para os quais
e
. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de
e
em qualquer ponto
no retângulo seja especificada por:
Determine:
© A função de distribuição marginal de
;
© A função de distribuição marginal de
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos duas v.a.s. X e Y definidas num retângulo 0≤x≤3 e 0≤y≤4, e a CDF conjunta é
O que ele pede na letra © é a função de distribuição marginal de Y, ou seja
Conteúdo envolvido: distribuições conjuntas e marginais, definição de CDF e como “eliminar” uma variável. Vamos usar a teoria de CDFs marginais.
Passo 2
Por definição, a CDF marginal de Y é
Aqui, como X só varia até 3, esse limite é equivalente a colocar
na expressão de
, para cada y no suporte.
Passo 3
Então, para
,
Agora simplifica:
Dividindo numerador e denominador por 3:
Passo 4
Não esquece que CDFs são sempre definidas para todo y:
- Se
, então . - Se
, como Y nunca passa de 4, .
Resposta
A função de distribuição marginal de Y é