(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que X e Y são v.a.s. tais que o vetor aleatório (X, Y) pertença ao retângulo contendo todos os pontos x e y para os quais 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 4. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de X e Y em qualquer ponto (x, y) no retângulo seja especificada por:
FX Y(x, y)=1156 x y(x^2+y)
Determine:
© A função de distribuição marginal de Y;

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos duas v.a.s. X e Y definidas num retângulo 0≤x≤3 e 0≤y≤4, e a CDF conjunta é
FXY(x,y)=1156,x,y,(x^2+y)
O que ele pede na letra © é a função de distribuição marginal de Y, ou seja
FY(y)=P(Y<= y)
Conteúdo envolvido: distribuições conjuntas e marginais, definição de CDF e como “eliminar” uma variável. Vamos usar a teoria de CDFs marginais.

Passo 2

Por definição, a CDF marginal de Y é
FY(y)=P(Y<= y)=limxto+inftyFXY(x,y)
Aqui, como X só varia até 3, esse limite é equivalente a colocar na expressão de , para cada y no suporte.

Passo 3

Então, para FY(y)=FXY(3,y) =1156cdot 3,yl(3^2+yr) =1156,3y(9+y) ,
3y(9+y)=27y+3y^2 Longrightarrow FY(y)=27y+3y^2156 =3y^2+27y156
Agora simplifica:
FY(y)=y^2+9y52
Dividindo numerador e denominador por 3:

Passo 4

Não esquece que CDFs são sempre definidas para todo y:
  • Se , então .
  • Se , como Y nunca passa de 4, .

Resposta

A função de distribuição marginal de Y é
FY(y)= 0, & y<0,[6pt] dfracy^2+9y52, & 0<= y<= 4,[6pt] 1, & y>4

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