(Degroot, ex. 2, pag 132) Considere o vetor aleatório ( X, Y ) com função densidade de probabilidade dada por
fX Y(x, y)=ll k y^2, & 0
Determine:
(d) P(X <= 1);

Passo 1

Beleza, vamos ao que interessa. A questão diz que temos uma dupla aleatória fXY(x,y)= k,y^2, & 0 com densidade
á
O que a gente quer é a probabilidade . Para isso precisamos lembrar de duas coisas básicas:
  1. A densidade total tem que integrar 1 (para descobrir ).
  2. Para achar vamos integrar a densidade sobre a região .

Passo 2

Primeiro, normalizar a densidade. A regra é
integral duplatoda a região fXY(x,y),dx,dy =1 ã
Aqui a região é integralx=0^2!integraly=0^1 k,y^2 ,dy,dx =1 e integral0^1 y^2,dy = y^33|0^1 = 13 , então
integral0^2 kcdot13 ,dx = kcdot13 cdot (2-0) = 2k3
Vamos integrar em k = 32 primeiro:
Então fica
A condição é , logo

Passo 3

Agora sim, vamos achar P(X<=1) = integralx=0^1!integraly=0^1 fXY(x,y),dy,dx . Por definição,
P(X<=1) = integral0^1!integral0^1 32,y^2,dy,dx = integral0^1 l(32integral0^1 y^2,dyr),dx
Substituindo P(X<=1) = integral0^1 32cdot13 ,dx = integral0^1 12 ,dx = 12,(1-0) = 12 :
Já sabemos , então

Resposta

P(X<=1) = 12

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