(Degroot, ex. 2, pag 132) Considere o vetor aleatório (
) com função densidade de probabilidade dada por
Determine:
(d)
;
(d)
Passo 1
Beleza, vamos ao que interessa. A questão diz que temos uma dupla aleatória
com densidade
O que a gente quer é a probabilidade
. Para isso precisamos lembrar de duas coisas básicas:
- A densidade total tem que integrar 1 (para descobrir
). - Para achar
vamos integrar a densidade sobre a região .
Passo 2
Primeiro, normalizar a densidade. A regra é
Aqui a região é
e
, então
Vamos integrar em
primeiro:
Então fica
A condição é
, logo
Passo 3
Agora sim, vamos achar
P(X<=1) = integralx=0^1!integraly=0^1 fXY(x,y),dy,dx . Por definição,
Substituindo
P(X<=1) = integral0^1 32cdot13 ,dx = integral0^1 12 ,dx = 12,(1-0) = 12 :
Já sabemos
, então