(deGroot) Suponha que dois jogadores A e B estejam tentando arremessar uma bola de basquete em uma cesta. A probabilidade de que o jogador A tenha sucesso em um determinado arremesso é 0,3 , e ele arremessa até obter 10 sucessos. A probabilidade de que o jogador B tenha sucesso em um determinado arremesso é 0,9 e ele arremessa até obter 30 sucessos.
Para qual jogador o número esperado de arremessos é menor?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar certinho para não confundir):
  • Jogador A:
    • probabilidade de sucesso em cada arremesso: p_A=0,3.
    • para quando atingir r_A=10 sucessos (ou seja, arremessa até conseguir 10 sucessos).
  • Jogador B:
    • probabilidade de sucesso em cada arremesso: p_B=0,9.
    • para quando atingir r_B=30 sucessos (ou seja, arremessa até conseguir 30 sucessos).
A pergunta do enunciado é: para qual jogador o número esperado de arremessos é menor? (ou seja, comparar as esperanças do número de tentativas necessárias para A e para B).

Passo 2

Modelo probabilístico e ideia-chave que vou usar (explicando passo a passo):
  • Em cada caso temos uma sequência de ensaios independentes com probabilidade constante de sucesso p em cada ensaio.
  • A variável que conta o número de arremessos necessários para obter r sucessos segue a chamada distribuição binomial negativa (ou pode ser vista como soma de tempos geométricos).
  • Uma observação muito útil e simples: o tempo até o primeiro sucesso (ou seja, o número de ensaios necessários para obter 1 sucesso) segue a distribuição geométrica com parâmetro p. Vou primeiro calcular a esperança dessa geométrica e depois usar que o tempo até r sucessos é soma de r tempos geométricos idênticos e independentes.

Passo 3

Cálculo da esperança da distribuição geométrica (tempo até o primeiro sucesso).
  • Seja K o número de arremessos até o primeiro sucesso, com \Pr(K=k)=(1-p)^{\,k-1}p para k=1,2,\dots.
  • A esperança é
\mathbb{E}(K)=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{\,k-1}p.
  • Para simplificar, defina q=1-p. Então
\mathbb{E}(K)=p\sum_{k=1}^{\infty} k q^{\,k-1}.
  • A soma \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} (para |x|<1) tem uma forma fechada que se obtém diferenciando a série geométrica \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \dfrac{1}{1-x}. Diferenciando em relação a x obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}.
  • Aplicando isso com x=q obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k q^{\,k-1} = \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{1}{p^2},
pois 1-q=p.
  • Portanto
\mathbb{E}(K)=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}.
Conclusão: o número esperado de arremessos até o primeiro sucesso é \dfrac{1}{p}.

Passo 4

Extensão para r sucessos (lei da linearidade da esperança).
  • Pense no processo de obter r sucessos como a soma dos tempos entre sucessos: N = T_1 + T_2 + \cdots + T_r, onde cada T_i é o número de arremessos entre o (i-1)-ésimo e o i-ésimo sucesso. Cada T_i tem a mesma distribuição geométrica com parâmetro p e são independentes.
  • Pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}(N)=\mathbb{E}(T_1)+\mathbb{E}(T_2)+\cdots+\mathbb{E}(T_r)=r\cdot\mathbb{E}(T_1)=\frac{r}{p}.
  • Portanto, para um jogador com probabilidade de sucesso p que arremessa até obter r sucessos, o número esperado de arremessos é \dfrac{r}{p}.

Passo 5

Aplicando a fórmula \mathbb{E}(N)=\dfrac{r}{p} aos dois jogadores e calculando explicitamente (mostrando as contas passo a passo sem usar calculadora).
  • Para A: r_A=10 e p_A=0,3. Note que 0,3=\dfrac{3}{10}. Assim
\mathbb{E}(N_A)=\frac{10}{0,3}=\frac{10}{3/10}=\frac{10\cdot10}{3}=\frac{100}{3}=33,\overline{3}.
  • Para B: r_B=30 e p_B=0,9. Note que 0,9=\dfrac{9}{10}. Assim
\mathbb{E}(N_B)=\frac{30}{0,9}=\frac{30}{9/10}=\frac{30\cdot10}{9}=\frac{300}{9}=\frac{100}{3}=33,\overline{3}.
  • Resultado numérico: ambos têm esperança igual a \dfrac{100}{3} arremessos, isto é, aproximadamente 33,3 arremessos.

Passo 6

Interpretação rápida e conclusão final (estou aqui pra te motivar: apesar da intuição de que B é “melhor” por acertar mais, ele precisa de mais sucessos, e os dois se equilibram exatamente neste caso).
  • Conclusão: os números esperados de arremessos para A e para B coincidem e valem \dfrac{100}{3}.

Resposta

Ambos têm o mesmo número esperado de arremessos: \dfrac{100}{3} arremessos.

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