(deGroot) Suponha que dois jogadores
e
estejam tentando arremessar uma bola de basquete em uma cesta. A probabilidade de que o jogador
tenha sucesso em um determinado arremesso é 0,3 , e ele arremessa até obter 10 sucessos. A probabilidade de que o jogador
tenha sucesso em um determinado arremesso é 0,9 e ele arremessa até obter 30 sucessos.
Para qual jogador o número esperado de arremessos é menor?
Para qual jogador o número esperado de arremessos é menor?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar certinho para não confundir):
- Jogador
: - probabilidade de sucesso em cada arremesso:
. - para quando atingir
sucessos (ou seja, arremessa até conseguir 10 sucessos).
- probabilidade de sucesso em cada arremesso:
- Jogador
: - probabilidade de sucesso em cada arremesso:
. - para quando atingir
sucessos (ou seja, arremessa até conseguir 30 sucessos).
- probabilidade de sucesso em cada arremesso:
A pergunta do enunciado é: para qual jogador o número esperado de arremessos é menor? (ou seja, comparar as esperanças do número de tentativas necessárias para
e para
).
Passo 2
Modelo probabilístico e ideia-chave que vou usar (explicando passo a passo):
- Em cada caso temos uma sequência de ensaios independentes com probabilidade constante de sucesso
em cada ensaio. - A variável que conta o número de arremessos necessários para obter
sucessos segue a chamada distribuição binomial negativa (ou pode ser vista como soma de tempos geométricos). - Uma observação muito útil e simples: o tempo até o primeiro sucesso (ou seja, o número de ensaios necessários para obter 1 sucesso) segue a distribuição geométrica com parâmetro
. Vou primeiro calcular a esperança dessa geométrica e depois usar que o tempo até sucessos é soma de tempos geométricos idênticos e independentes.
Passo 3
Cálculo da esperança da distribuição geométrica (tempo até o primeiro sucesso).
- Seja
o número de arremessos até o primeiro sucesso, com para . - A esperança é
- Para simplificar, defina
. Então
- A soma
(para ) tem uma forma fechada que se obtém diferenciando a série geométrica . Diferenciando em relação a obtemos
- Aplicando isso com
obtemos
pois
.
- Portanto
Conclusão: o número esperado de arremessos até o primeiro sucesso é
.
Passo 4
Extensão para
sucessos (lei da linearidade da esperança).
- Pense no processo de obter
sucessos como a soma dos tempos entre sucessos: , onde cada é o número de arremessos entre o -ésimo e o -ésimo sucesso. Cada tem a mesma distribuição geométrica com parâmetro e são independentes. - Pela linearidade da esperança,
- Portanto, para um jogador com probabilidade de sucesso
que arremessa até obter sucessos, o número esperado de arremessos é .
Passo 5
Aplicando a fórmula
aos dois jogadores e calculando explicitamente (mostrando as contas passo a passo sem usar calculadora).
- Para
: e . Note que . Assim
- Para
: e . Note que . Assim
- Resultado numérico: ambos têm esperança igual a
arremessos, isto é, aproximadamente arremessos.
Passo 6
Interpretação rápida e conclusão final (estou aqui pra te motivar: apesar da intuição de que
é “melhor” por acertar mais, ele precisa de mais sucessos, e os dois se equilibram exatamente neste caso).
- Conclusão: os números esperados de arremessos para
e para coincidem e valem .
Resposta
Ambos têm o mesmo número esperado de arremessos:
arremessos.