Uma loja de computadores comprou 1000 computadores de certo tipo por 500 dólares cada. Eles serão vendidos a 1000 dólares cada. O fabricante concordou em aceitar a devolução dos computadores não vendidos, após um período especificado, pagando 200 dólares por computador devolvido. Seja X a quantidade de computadores vendidos, suponha que X \sim \operatorname{Bin}(1000 ; 0,8).
Calcule o lucro esperado, variância e desvio padrão do lucro.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A loja comprou 1000 computadores por \$500 cada (custo total pago à vista).
  • Cada computador será vendido por \$1000 caso seja vendido.
  • O fabricante aceita devolver os computadores não vendidos por \$200 cada.
  • Seja X a quantidade de computadores vendidos, com X\sim\operatorname{Bin}(1000;0,8).
O que o problema pede:
  • Calcular o lucro esperado.
  • Calcular a variância do lucro.
  • Calcular o desvio padrão do lucro.

Passo 2

Vamos escrever uma expressão algébrica para o lucro L em função de X.
Detalhando as receitas e custos:
  • Custo total pago na compra: 1000\times 500=\$500000.
  • Receita de vendas (para os X vendidos): 1000 dólares por unidade, ou seja 1000X.
  • Recebimento do fabricante pelos não vendidos: se 1000-X são devolvidos, recebe-se 200(1000-X).
Então a receita total recebida (vendas + devoluções) é
1000X + 200(1000-X).
O lucro L é receita total menos custo inicial:
L = \bigl(1000X + 200(1000-X)\bigr) - 500000.
Agora simplificamos a expressão passo a passo:
1000X + 200(1000-X) = 1000X + 200000 - 200X = 800X + 200000.
Logo
L = 800X + 200000 - 500000 = 800X - 300000.
Portanto L é uma transformação linear de X:
L = 800X - 300000.

Passo 3

Precisamos das propriedades básicas de esperança e variância para transformações lineares:
  • Para qualquer constante a e b e variável aleatória X,
\mathbb{E}[aX+b]=a\,\mathbb{E}[X]+b, \qquad \operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X).
(O termo constante b não contribui para a variância.)
Também precisamos das fórmulas para a binomial X\sim\operatorname{Bin}(n,p):
\mathbb{E}[X]=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).
Aqui n=1000 e p=0,8. Então
\mathbb{E}[X]=1000\cdot 0,8 = 800,
\operatorname{Var}(X)=1000\cdot 0,8\cdot(1-0,8)=1000\cdot 0,8\cdot 0,2 = 160.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas ao lucro L=800X-300000.
Esperança do lucro:
\mathbb{E}[L]=800\mathbb{E}[X]-300000.
Substituindo \mathbb{E}[X]=800:
\mathbb{E}[L]=800\cdot 800 - 300000.
Fazendo as contas:
800\cdot 800 = 640000,
\mathbb{E}[L]=640000-300000 = 340000.
Portanto o lucro esperado é \$340000.

Passo 5

Variância do lucro:
\operatorname{Var}(L)=800^{2}\operatorname{Var}(X).
Calculamos 800^{2} e multiplicamos por \operatorname{Var}(X)=160:
800^{2}=640000,
\operatorname{Var}(L)=640000\cdot 160.
Agora a multiplicação (mostrando passo a passo):
640000\cdot 160 = 640000\cdot(100+60) = 640000\cdot 100 + 640000\cdot 60.
640000\cdot 100 = 64000000,\qquad 640000\cdot 60 = 38400000,
64000000+38400000 = 102400000.
Assim
\operatorname{Var}(L)=102400000.

Passo 6

Desvio padrão do lucro é a raiz quadrada da variância:
\operatorname{SD}(L)=\sqrt{\operatorname{Var}(L)}=\sqrt{102400000}.
Para facilitar a raiz, fatoramos:
102400000 = 1024\cdot 100000,
\sqrt{102400000} = \sqrt{1024}\cdot\sqrt{100000} = 32\cdot\sqrt{100000}.
Além disso \sqrt{100000}=100\sqrt{10} e \sqrt{10}\approx 3,16227766. Assim
\operatorname{SD}(L)=32\cdot 100\cdot \sqrt{10} = 3200\sqrt{10}\approx 3200\cdot 3,16227766 \approx 10119,2885.
Arredondando para duas casas decimais:
\operatorname{SD}(L)\approx 10119,29.

Resposta

\mathbb{E}[L]=340000
\operatorname{Var}(L)=102400000
\operatorname{SD}(L)\approx 10119,29

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