Uma loja de computadores comprou 1000 computadores de certo tipo por 500 dólares cada. Eles serão vendidos a 1000 dólares cada. O fabricante concordou em aceitar a devolução dos computadores não vendidos, após um período especificado, pagando 200 dólares por computador devolvido. Seja
a quantidade de computadores vendidos, suponha que
.
Calcule o lucro esperado, variância e desvio padrão do lucro.
Calcule o lucro esperado, variância e desvio padrão do lucro.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A loja comprou
computadores por cada (custo total pago à vista). - Cada computador será vendido por
caso seja vendido. - O fabricante aceita devolver os computadores não vendidos por
cada. - Seja
a quantidade de computadores vendidos, com .
O que o problema pede:
- Calcular o lucro esperado.
- Calcular a variância do lucro.
- Calcular o desvio padrão do lucro.
Passo 2
Vamos escrever uma expressão algébrica para o lucro
em função de
.
Detalhando as receitas e custos:
- Custo total pago na compra:
. - Receita de vendas (para os
vendidos): dólares por unidade, ou seja . - Recebimento do fabricante pelos não vendidos: se
são devolvidos, recebe-se .
Então a receita total recebida (vendas + devoluções) é
O lucro
é receita total menos custo inicial:
Agora simplificamos a expressão passo a passo:
Logo
Portanto
é uma transformação linear de
:
Passo 3
Precisamos das propriedades básicas de esperança e variância para transformações lineares:
- Para qualquer constante
e e variável aleatória ,
(O termo constante
não contribui para a variância.)
Também precisamos das fórmulas para a binomial
:
Aqui
e
. Então
Passo 4
Agora aplicamos as fórmulas ao lucro
.
Esperança do lucro:
Substituindo
:
Fazendo as contas:
Portanto o lucro esperado é
.
Passo 5
Variância do lucro:
Calculamos
e multiplicamos por
:
Agora a multiplicação (mostrando passo a passo):
Assim
Passo 6
Desvio padrão do lucro é a raiz quadrada da variância:
Para facilitar a raiz, fatoramos:
Além disso
e
. Assim
Arredondando para duas casas decimais: