(Montgomery e Runger) A probabilidade de uma pastilha conter uma partícula grande de contaminação é de 0,01 . Se for considerado que as pastilhas sejam independentes, qual será a probabilidade de que exatamente 125 pastilhas necessitem ser analisadas antes que uma partícula grande seja detectada?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
- Probabilidade de uma pastilha conter uma partícula grande (sucesso) é
. - As pastilhas são independentes (eventos independentes a cada análise).
- Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
pastilhas precisem ser analisadas antes que uma partícula grande seja detectada?
Em outras palavras: qual a probabilidade de que a primeira detecção (primeiro sucesso) ocorra na
-ª análise?
Passo 2
Vamos modelar o problema com a distribuição geométrica (forma que conta o número de tentativas até o primeiro sucesso).
- Definição e raciocínio: seja
a variável aleatória que representa o número de pastilhas analisadas até a primeira partícula grande (inclusive). Para que ocorra, é preciso que as primeiras pastilhas não contenham a partícula (falhas) e que a -ésima contenha (sucesso). - Como as análises são independentes, a probabilidade dessa sequência (falha, falha, …, falha, sucesso) é o produto das probabilidades individuais.
- Assim, a fórmula geral é
onde
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa e
é o número de tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 3
Agora aplico os números do enunciado:
e
. Substituindo na fórmula,
Passo 4
Vamos obter uma aproximação numérica do valor para ficar mais claro. Para calcular
é prático usar a relação com logaritmo/exponencial:
Como
é pequeno, pode-se usar a expansão
para
:
Multiplicando por
:
Portanto
Multiplicando por
:
Arredondando comumente para três casas significativas:
Passo 5
Interpretação final: a probabilidade de que a primeira partícula grande seja detectada exatamente na
-ª pastilha é pequena (cerca de
). Faz sentido: com
por pastilha, é relativamente improvável demorar tanto até o primeiro sucesso, mas não impossível — a probabilidade está na ordem de
.