(Montgomery e Runger) A probabilidade de uma pastilha conter uma partícula grande de contaminação é de 0,01 . Se for considerado que as pastilhas sejam independentes, qual será a probabilidade de que exatamente 125 pastilhas necessitem ser analisadas antes que uma partícula grande seja detectada?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
  • Probabilidade de uma pastilha conter uma partícula grande (sucesso) é p=0,01.
  • As pastilhas são independentes (eventos independentes a cada análise).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 125 pastilhas precisem ser analisadas antes que uma partícula grande seja detectada?
Em outras palavras: qual a probabilidade de que a primeira detecção (primeiro sucesso) ocorra na 125-ª análise?

Passo 2

Vamos modelar o problema com a distribuição geométrica (forma que conta o número de tentativas até o primeiro sucesso).
  • Definição e raciocínio: seja N a variável aleatória que representa o número de pastilhas analisadas até a primeira partícula grande (inclusive). Para que N=n ocorra, é preciso que as primeiras n-1 pastilhas não contenham a partícula (falhas) e que a n-ésima contenha (sucesso).
  • Como as análises são independentes, a probabilidade dessa sequência (falha, falha, …, falha, sucesso) é o produto das probabilidades individuais.
  • Assim, a fórmula geral é
P(N=n)=(1-p)^{\,n-1}p,
onde p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa e n é o número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 3

Agora aplico os números do enunciado: p=0,01 e n=125. Substituindo na fórmula,
P(N=125)=(1-0,01)^{124}\cdot0,01=(0,99)^{124}\cdot0,01.

Passo 4

Vamos obter uma aproximação numérica do valor para ficar mais claro. Para calcular (0,99)^{124} é prático usar a relação com logaritmo/exponencial:
(0,99)^{124}=e^{124\ln(0,99)}.
Como 0,01 é pequeno, pode-se usar a expansão \ln(1-x)\approx -x-\tfrac{x^{2}}{2} para x=0,01:
\ln(0,99)=\ln(1-0,01)\approx -0,01-\tfrac{0,01^{2}}{2}=-0,01-0,00005=-0,01005.
Multiplicando por 124:
124\ln(0,99)\approx 124\cdot(-0,01005)=-1,2462.
Portanto
(0,99)^{124}\approx e^{-1,2462}\approx 0,2875.
Multiplicando por 0,01:
P(N=125)\approx 0,2875\cdot0,01=0,002875.
Arredondando comumente para três casas significativas:
P(N=125)\approx 0,00288.

Passo 5

Interpretação final: a probabilidade de que a primeira partícula grande seja detectada exatamente na 125-ª pastilha é pequena (cerca de 0,288\%). Faz sentido: com p=1\% por pastilha, é relativamente improvável demorar tanto até o primeiro sucesso, mas não impossível — a probabilidade está na ordem de 10^{-3}.

Resposta

(0,99)^{124}\cdot0,01\approx0,00288

Exercícios relacionados