Delta de Dirac. Resolva as EDOs
y^{\prime \prime}+y=\delta(t-2 \pi) ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y''+y=\delta(t-2\pi)
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação para todos t (no sentido clássico para t\neq 2\pi e no sentido das distribuições em t=2\pi) e que verifica as condições iniciais. Informações relevantes dadas:
  • Há uma força-impulso (Delta de Dirac) concentrada em t=2\pi.
  • Fora do ponto t=2\pi a equação é homogênea y''+y=0.
  • A solução pode ter descontinuidade na derivada primeira em t=2\pi, por causa da Delta, mas a própria y deve ser contínua (isso será justificado a seguir).

Passo 2

Escrever a solução geral da equação homogênea y''+y=0 (válida em qualquer intervalo que não contenha t=2\pi). A equação característica é r^2+1=0 com raízes r=\pm i. Portanto a solução geral é
y(t)=A\cos t+B\sin t,
onde A e B são constantes que podem ser diferentes em cada intervalo (antes e depois do impulso). Aqui A e B são constantes reais que determinam a amplitude e fase da combinação linear das funções \cos t e \sin t.

Passo 3

Aplicar as condições iniciais no intervalo inicial 0\le t<2\pi. Para 0\le t<2\pi não há fonte, então
y_1(t)=A_1\cos t+B_1\sin t.
Usando y_1(0)=0 obtemos A_1\cos 0+B_1\sin 0=A_1=0. Usando y_1'(t)=-A_1\sin t+B_1\cos t e y_1'(0)=1 obtemos -A_1\cdot 0 + B_1\cdot 1=B_1=1. Assim
y_1(t)=\sin t\qquad\text{para }0\le t<2\pi.

Passo 4

Determinar o efeito do termo \delta(t-2\pi) em t=2\pi. Para isso integramos a equação em um intervalo pequeno em torno de t=2\pi:
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} (y''+y)\,dt=\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon}\delta(t-2\pi)\,dt=1.
Avaliar o lado esquerdo:
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y''\,dt = y'(2\pi+\varepsilon)-y'(2\pi-\varepsilon),
e
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y\,dt \to 0 \quad\text{quando }\varepsilon\to 0,
porque y é limitada em torno de 2\pi. Fazendo \varepsilon\to0 obtemos a condição de salto na derivada:
y'(2\pi^+)-y'(2\pi^-)=1.
Além disso, y é contínua em t=2\pi porque a integral de y' num intervalo que tende a zero vai a zero:
y(2\pi^+)-y(2\pi^-)=\int_{2\pi^-}^{2\pi^+} y'(t)\,dt\to 0.
Resumo: y contínua em 2\pi e y' sofre salto unitário.

Passo 5

Construir solução para t>2\pi usando as condições de contorno em t=2\pi. Para t>2\pi temos
y_2(t)=A_2\cos t+B_2\sin t.
Impor continuidade em t=2\pi:
y_2(2\pi)=y_1(2\pi).
Calculamos y_1(2\pi)=\sin(2\pi)=0. Assim
A_2\cos(2\pi)+B_2\sin(2\pi)=A_2\cdot 1 + B_2\cdot 0=A_2=0.
Impor a condição de salto na derivada. Primeiro y_1'(t)=\cos t, então
y_1'(2\pi^-)=\cos(2\pi)=1.
Para y_2' temos y_2'(t)=-A_2\sin t + B_2\cos t. Em t=2\pi isso vale
y_2'(2\pi^+)= -A_2\sin(2\pi)+B_2\cos(2\pi)=B_2.
Usando o salto y_2'(2\pi^+)-y_1'(2\pi^-)=1 obtemos
B_2-1=1 \quad\Rightarrow\quad B_2=2.
Portanto A_2=0 e B_2=2, logo
y_2(t)=2\sin t\qquad\text{para }t>2\pi.

Passo 6

Interpretar a solução completa e escrever de forma compacta. Temos a solução contínua em t=2\pi com salto na derivada conforme encontrado; o valor em t=2\pi é y(2\pi)=0. Uma forma alternativa e útil de escrever a solução em uma única expressão usa a função de Heaviside H(t) (onde H(t)=0 para t<0 e H(t)=1 para t>0):
y(t)=\sin t + H(t-2\pi)\sin t = (1+H(t-2\pi))\sin t.
Essa expressão dá \sin t para t<2\pi e 2\sin t para t>2\pi, casando com o que encontrámos.

Resposta

y(t)=\begin{cases} \sin t, & 0\le t<2\pi,\\[6pt] 2\sin t, & t>2\pi, \end{cases}
\text{com }y(2\pi)=0.]

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