Delta de Dirac. Resolva as EDOs
Passo 1
O enunciado dá a EDO
com as condições iniciais
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação para todos
(no sentido clássico para
e no sentido das distribuições em
) e que verifica as condições iniciais. Informações relevantes dadas:
- Há uma força-impulso (Delta de Dirac) concentrada em
. - Fora do ponto
a equação é homogênea . - A solução pode ter descontinuidade na derivada primeira em
, por causa da Delta, mas a própria deve ser contínua (isso será justificado a seguir).
Passo 2
Escrever a solução geral da equação homogênea
(válida em qualquer intervalo que não contenha
). A equação característica é
com raízes
. Portanto a solução geral é
onde
e
são constantes que podem ser diferentes em cada intervalo (antes e depois do impulso). Aqui
e
são constantes reais que determinam a amplitude e fase da combinação linear das funções
e
.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais no intervalo inicial
. Para
não há fonte, então
Usando
obtemos
. Usando
e
obtemos
. Assim
Passo 4
Determinar o efeito do termo
em
. Para isso integramos a equação em um intervalo pequeno em torno de
:
Avaliar o lado esquerdo:
e
porque
é limitada em torno de
. Fazendo
obtemos a condição de salto na derivada:
Além disso,
é contínua em
porque a integral de
num intervalo que tende a zero vai a zero:
Resumo:
contínua em
e
sofre salto unitário.
Passo 5
Construir solução para
usando as condições de contorno em
. Para
temos
Impor continuidade em
:
Calculamos
. Assim
Impor a condição de salto na derivada. Primeiro
, então
Para
temos
. Em
isso vale
Usando o salto
obtemos
Portanto
e
, logo
Passo 6
Interpretar a solução completa e escrever de forma compacta. Temos a solução contínua em
com salto na derivada conforme encontrado; o valor em
é
. Uma forma alternativa e útil de escrever a solução em uma única expressão usa a função de Heaviside
(onde
para
e
para
):
Essa expressão dá
para
e
para
, casando com o que encontrámos.