Convolução. Resolva as convoluções e as convoluções inversas \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}\right\}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}\right\}.
Informação dada: a função no domínio de s é \dfrac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}.
Objetivo final: encontrar a função de t cuja transformada de Laplace é essa expressão.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática).
Transformadas básicas úteis:\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(a t)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}.Aqui a é um número positivo e t\ge0. Em palavras: a transformada de \operatorname{cosh}(at) dá um numerador s sobre s^{2}-a^{2}; a de \operatorname{sinh}(at) dá a sobre s^{2}-a^{2}.
Teorema da convolução (muito útil): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} então\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}= (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.Ou seja, produto no domínio s vira convolução no domínio t.
Vou usar também identidades hiperbólicas para integrar quando necessário:\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} y=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sinh}(x+y)+\operatorname{sinh}(x-y)\big),
Método direto: decomposição em frações parciais adequada ao caso.
Observação: os denominadores são s^{2}-4 e s^{2}-25. Como o numerador é proporcional a s, é natural tentar a decomposição\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}=\frac{C\,s}{s^{2}-4}+\frac{D\,s}{s^{2}-25},onde C e D são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}-4)(s^{2}-25) obtemos2s = C s (s^{2}-25) + D s (s^{2}-4).Podemos simplificar cancelando um fator s (a igualdade é polinomial para todos os s):2 = C (s^{2}-25) + D (s^{2}-4).
Isso dá uma igualdade de polinômios em s. Igualando coeficientes:s^{2}:\quad C + D = 0,
\text{constante}:\quad -25C -4D = 2.
Da primeira equação D=-C. Substituindo na segunda:-25C -4(-C) = -25C +4C = -21C = 2 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{2}{21}.Então D=-C=\frac{2}{21}.
Portanto a decomposição é\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)} = -\frac{2}{21}\cdot\frac{s}{s^{2}-4} + \frac{2}{21}\cdot\frac{s}{s^{2}-25}.
Somando os dois termos:\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}\right\}=\frac{2}{21}\big(\operatorname{cosh}(5t)-\operatorname{cosh}(2t)\big).
Passo 5
Método alternativo (pela convolução) — para entender de outra forma e conferir.
Reescrevo a função como produto:\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}=\underbrace{\frac{2}{s^{2}-4}}_{F(s)}\cdot\underbrace{\frac{s}{s^{2}-25}}_{G(s)}.
Pela convolução,f(t)=(\operatorname{sinh}(2\cdot)\ast\operatorname{cosh}(5\cdot))(t)=\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{cosh}(5(t-\tau))\,d\tau.
Calculo da integral (passo a passo com identidades):\operatorname{cosh}(5(t-\tau))=\operatorname{cosh}(5t)\operatorname{cosh}(5\tau)-\operatorname{sinh}(5t)\operatorname{sinh}(5\tau).Logof(t)=\operatorname{cosh}(5t)\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{cosh}(5\tau)\,d\tau - \operatorname{sinh}(5t)\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{sinh}(5\tau)\,d\tau.
Usando as identidades de produto:\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{cosh}(5\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sinh}(7\tau)-\operatorname{sinh}(3\tau)\big),
Substituindo e simplificando (álgebra direta, verificação):f(t)=\frac{2}{21}\big(\operatorname{cosh}(5t)-\operatorname{cosh}(2t)\big).Este resultado coincide com o obtido pela decomposição em frações parciais, confirmando a resposta.