Convolução. Resolva as convoluções e as convoluções inversas
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}\right\}.
  • Informação dada: a função no domínio de s é \dfrac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}.
  • Objetivo final: encontrar a função de t cuja transformada de Laplace é essa expressão.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática).
  • Transformadas básicas úteis: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(a t)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}.Aqui a é um número positivo e t\ge0. Em palavras: a transformada de \operatorname{cosh}(at) dá um numerador s sobre s^{2}-a^{2}; a de \operatorname{sinh}(at) a sobre s^{2}-a^{2}.
  • Teorema da convolução (muito útil): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}= (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.Ou seja, produto no domínio s vira convolução no domínio t.
  • Vou usar também identidades hiperbólicas para integrar quando necessário: \operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} y=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sinh}(x+y)+\operatorname{sinh}(x-y)\big),
\operatorname{sinh} x\operatorname{sinh} y=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{cosh}(x+y)-\operatorname{cosh}(x-y)\big).

Passo 3

Método direto: decomposição em frações parciais adequada ao caso.
  • Observação: os denominadores são s^{2}-4 e s^{2}-25. Como o numerador é proporcional a s, é natural tentar a decomposição \frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}=\frac{C\,s}{s^{2}-4}+\frac{D\,s}{s^{2}-25},onde C e D são constantes a determinar.
  • Multiplicando ambos os lados por (s^{2}-4)(s^{2}-25) obtemos 2s = C s (s^{2}-25) + D s (s^{2}-4).Podemos simplificar cancelando um fator s (a igualdade é polinomial para todos os s): 2 = C (s^{2}-25) + D (s^{2}-4).
  • Isso dá uma igualdade de polinômios em s. Igualando coeficientes: s^{2}:\quad C + D = 0,
\text{constante}:\quad -25C -4D = 2.
  • Da primeira equação D=-C. Substituindo na segunda: -25C -4(-C) = -25C +4C = -21C = 2 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{2}{21}.Então D=-C=\frac{2}{21}.
  • Portanto a decomposição é \frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)} = -\frac{2}{21}\cdot\frac{s}{s^{2}-4} + \frac{2}{21}\cdot\frac{s}{s^{2}-25}.

Passo 4

Inversão termo a termo usando pares conhecidos.
  • Usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}-a^{2}}\}=\operatorname{cosh}(a t), obtemos: \mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{2}{21}\cdot\frac{s}{s^{2}-4}\right\}=-\frac{2}{21}\operatorname{cosh}(2t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{21}\cdot\frac{s}{s^{2}-25}\right\}=\frac{2}{21}\operatorname{cosh}(5t).
  • Somando os dois termos: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}\right\}=\frac{2}{21}\big(\operatorname{cosh}(5t)-\operatorname{cosh}(2t)\big).

Passo 5

Método alternativo (pela convolução) — para entender de outra forma e conferir.
  • Reescrevo a função como produto: \frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}=\underbrace{\frac{2}{s^{2}-4}}_{F(s)}\cdot\underbrace{\frac{s}{s^{2}-25}}_{G(s)}.
  • Inversas individuais: \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^{2}-4}\right\}=2\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(2t)=\operatorname{sinh}(2t),porque \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}-4}. \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}-25}\right\}=\operatorname{cosh}(5t).
  • Pela convolução, f(t)=(\operatorname{sinh}(2\cdot)\ast\operatorname{cosh}(5\cdot))(t)=\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{cosh}(5(t-\tau))\,d\tau.
  • Calculo da integral (passo a passo com identidades): \operatorname{cosh}(5(t-\tau))=\operatorname{cosh}(5t)\operatorname{cosh}(5\tau)-\operatorname{sinh}(5t)\operatorname{sinh}(5\tau).Logo f(t)=\operatorname{cosh}(5t)\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{cosh}(5\tau)\,d\tau - \operatorname{sinh}(5t)\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{sinh}(5\tau)\,d\tau.
  • Usando as identidades de produto: \operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{cosh}(5\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sinh}(7\tau)-\operatorname{sinh}(3\tau)\big),
\operatorname{sinh}(2\tau)\operatorname{sinh}(5\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{cosh}(7\tau)-\operatorname{cosh}(3\tau)\big).
Integro de 0 a t:
\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(7\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{7}\big(\operatorname{cosh}(7t)-1\big), \qquad \int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(3\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{3}\big(\operatorname{cosh}(3t)-1\big),
\int_{0}^{t}\operatorname{cosh}(7\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{7}\operatorname{sinh}(7t), \qquad \int_{0}^{t}\operatorname{cosh}(3\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{3}\operatorname{sinh}(3t).
  • Substituindo e simplificando (álgebra direta, verificação): f(t)=\frac{2}{21}\big(\operatorname{cosh}(5t)-\operatorname{cosh}(2t)\big).Este resultado coincide com o obtido pela decomposição em frações parciais, confirmando a resposta.

Resposta

\dfrac{2}{21}\big(\operatorname{cosh}(5t)-\operatorname{cosh}(2t)\big)

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