Qual o \Delta \mathrm{G}^{0} e a K a 298 K para a reação da célula: C u_{(a q)}^{2+}+Z n_{(s)} \rightleftharpoons Z n_{(a q)}^{2+}+C u_{(s)} ? (R:-212,5 kJ/mol e 1,69 \times 10^{37} )

Passo 1

O enunciado pede dois valores para a reação
\mathrm{Cu}^{2+}_{(aq)} + \mathrm{Zn}_{(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Zn}^{2+}_{(aq)} + \mathrm{Cu}_{(s)}
  1. o valor de \Delta G^\circ (energia livre de Gibbs padrão) a 298\\ \mathrm{K}; 2) a constante de equilíbrio K a 298\\ \mathrm{K}.\n
    Informações relevantes que usarei (valores de tabelas padrão):\n
    \displaystyle E^\circ(\mathrm{Cu^{2+}/Cu}) = +0{,}337\\ \mathrm{V} (redução)\n
    \displaystyle E^\circ(\mathrm{Zn^{2+}/Zn}) = -0{,}764\\ \mathrm{V} (redução)\n
    constante de Faraday: \displaystyle F=96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}}\n
    constante dos gases: \displaystyle R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\n
    temperatura: \displaystyle T=298\\ \mathrm{K}\n
    A reação envolve troca de n elétrons que vamos identificar nos próximos passos.

Passo 2

Identificar os semireações e o número de elétrons trocados.\n
Semireações (forma de redução):
\mathrm{Cu}^{2+} + 2\mathrm{e}^- \to \mathrm{Cu}_{(s)}
\mathrm{Zn}^{2+} + 2\mathrm{e}^- \to \mathrm{Zn}_{(s)}
Da equação nota-se que cada semicélula envolve 2 elétrons, logo o número de elétrons transferidos é
n = 2.

Passo 3

Calcular a força eletromotriz padrão da célula \displaystyle E^\circ_{\text{cel}}.\n
Regra prática: a célula é formada pelo agente que é reduzido como cátodo ( \mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}) e o agente que é oxidado como ânodo ( \mathrm{Zn}/\mathrm{Zn}^{2+}). O potencial padrão da célula é
E^\circ_{\text{cel}} = E^\circ_{\text{cátodo}} - E^\circ_{\text{ânodo}}.áâ
Substituindo os valores da tabela:
E^\circ_{\text{cel}} = (+0{,}337\\ \mathrm{V}) - (-0{,}764\\ \mathrm{V}) = +1{,}101\\ \mathrm{V}.
(Esse é o potencial padrão da célula para a reação dada, positivo indicando espontaneidade no sentido escrito.)

Passo 4

Calcular \Delta G^\circ a partir de E^\circ_{\text{cel}}.\n
Fórmula usada: a relação entre energia livre padrão e a força eletromotriz padrão é
\Delta G^\circ = -n F E^\circ_{\text{cel}}.
Explicação das grandezas: \Delta G^\circ é a variação de energia livre padrão por mol de reação; n é o número de elétrons trocados por mol de reação; F é a constante de Faraday (carga de 1 mol de elétrons em coulombs); E^\circ_{\text{cel}} é o potencial padrão em volts (1 V = 1 J/C).\n
Substituindo:
\Delta G^\circ = - (2)\cdot(96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}})\cdot(1{,}101\\ \mathrm{V}).
Cálculo passo a passo:
2\cdot 96485 = 192970\,
192970\cdot 1{,}101 = 212500{,} \text{(unidade J/mol)}
Logo
\Delta G^\circ = -212500\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} = -212{,}5\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
(Arredondei para uma casa decimal por consistência com os dados dados.)

Passo 5

Calcular a constante de equilíbrio K a 298\\ \mathrm{K}.\n
Fórmula usada: relação entre \Delta G^\circ e K
\Delta G^\circ = -RT\ln K.
Isolando \ln K:
\ln K = -\dfrac{\Delta G^\circ}{RT}.
Como \Delta G^\circ é negativo, -\Delta G^\circ é positivo, levando a \ln K grande e positivo.\n
Substituindo os valores (usar \Delta G^\circ em joules):
\ln K = -\dfrac{-212500\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}}{(8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}})\cdot(298\\ \mathrm{K})}.
Calcule o denominador:
8{,}314\cdot 298 = 2477{,}772\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Agora
\ln K = \dfrac{212500}{2477{,}772}\approx 85{,}715.
Passando para K:
K = e^{85{,}715}\approx 1{,}69\times 10^{37}.
(Como checagem rápida, existe uma forma prática via base 10: \log_{10}K=\dfrac{nE^\circ}{0{,}05916} a 298\\ \mathrm{K}, que dá um valor semelhante.)

Passo 6

Interpretação breve e incentivo.\n
O resultado \Delta G^\circ = -212{,}5\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}} indica que a reação é fortemente espontânea no sentido escrito sob condições padrão; a constante de equilíbrio enorme \sim 10^{37} confirma que, em equilíbrio padrão, a mistura estará praticamente totalmente deslocada para os produtos. Você está indo bem — esse problema é padrão em eletroquímica e os passos-chave são identificar E^\circ_{\text{cel}}, determinar n, usar \Delta G^\circ=-nFE^\circ e depois \Delta G^\circ=-RT\ln K.

Resposta

\Delta G^\circ = -212{,}5\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}\n
K = 1{,}69\times 10^{37}

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