A aproximação é tão melhor quanto menor for o intervalo
. Dessa forma, podemos afirmar que o tempo total para percorrer um comprimento
é dado por:
O conteúdo descrito acima pode ser aplicado a um movimento vertical, bastando substituir a variável
pela variável
. Sendo assim, considerando um corpo em queda livre (nas proximidades da superfície da terra), prove que, um corpo, partindo do repouso demora uma tempo
para cair uma altura de módulo
.
Passo 1
Beleza! Vamos ver o que a questão pede. Temos que calcular o tempo que um corpo leva para cair de uma altura $ H $ partindo do repouso, usando conceitos de movimento vertical e energia. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade está relacionada com a posição e como integrar essa velocidade para encontrar o tempo total da queda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o tempo total $ t $ para percorrer uma distância $ D $ é dado pela integral:
Aqui, $ v $ é a velocidade do corpo em função da posição $ x $.
Passo 3
No caso de um movimento vertical sob a ação da gravidade, substituímos $ x $ por $ y $ e reconhecemos que a única força em ação é a gravidade. A energia potencial gravitacional é $ U(y) = m g y $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
A velocidade $ v $ do corpo pode ser expressa usando a conservação da energia. Como o corpo parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero, e a energia total $ E $ é igual à energia potencial inicial $ U(0) = 0 $. Assim:
Note que simplificamos $ E = 0 $ porque o corpo parte do repouso.
Passo 5
Agora, substituímos a expressão de $ v $ na integral do tempo:
Aqui, $ H $ é a altura total da queda.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
A integral de $ y^{-1/2} $ é $ 2 \sqrt{y} $, então:
Resposta
O tempo que o corpo demora para cair uma altura $ H $ é