De
A aproximação é tão melhor quanto menor for o intervalo De. Dessa forma, podemos afirmar que o tempo total para percorrer um comprimento D é dado por:
t=integral0^D d xv, ou seja, t=integral0^D d xraiz2m(E-U(x))
O conteúdo descrito acima pode ser aplicado a um movimento vertical, bastando substituir a variável x pela variável y. Sendo assim, considerando um corpo em queda livre (nas proximidades da superfície da terra), prove que, um corpo, partindo do repouso demora uma tempo
t=raiz2 Hg
para cair uma altura de módulo H.

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que a questão pede. Temos que calcular o tempo que um corpo leva para cair de uma altura $ H $ partindo do repouso, usando conceitos de movimento vertical e energia. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade está relacionada com a posição e como integrar essa velocidade para encontrar o tempo total da queda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o tempo total $ t $ para percorrer uma distância $ D $ é dado pela integral:
t
Aqui, $ v $ é a velocidade do corpo em função da posição $ x $.

Passo 3

No caso de um movimento vertical sob a ação da gravidade, substituímos $ x $ por $ y $ e reconhecemos que a única força em ação é a gravidade. A energia potencial gravitacional é $ U(y) = m g y $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

A velocidade $ v $ do corpo pode ser expressa usando a conservação da energia. Como o corpo parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero, e a energia total $ E $ é igual à energia potencial inicial $ U(0) = 0 $. Assim:
v
Note que simplificamos $ E = 0 $ porque o corpo parte do repouso.

Passo 5

Agora, substituímos a expressão de $ v $ na integral do tempo:
v
Aqui, $ H $ é a altura total da queda.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
t = integral0^H dyraiz2 g y = 1raiz2 g integral0^H y^-1/2 dy
A integral de $ y^{-1/2} $ é $ 2 \sqrt{y} $, então:
y^-1/2

Resposta

O tempo que o corpo demora para cair uma altura $ H $ é
H

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