Um campo vetorial F: D subset R^3 R^3 é dito ser conservativo se existir um campo escalar U: D subset R^3 R tal que F(x, y, z)=nabla U(x, y, z). Seja F: D subset R^3 R^3 um campo vetorial conservativo. Prove que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F em R^3 que é conservativo. Isso significa que existe uma função escalar U tal que F = nabla U. Nosso objetivo aqui é provar que o rotacional desse campo vetorial F é igual a zero, ou seja, nabla times F = 0. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e rotacional.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que significa ser um campo conservativo: se F = nabla U, então F é o gradiente de alguma função escalar U. O gradiente basicamente aponta na direção de maior crescimento de U e tem uma relação direta com as derivadas parciais de U.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional, representado por nabla times F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para campos conservativos, queremos mostrar que esse giro é nulo.

Passo 4

Substituindo F por nabla U, temos:
nabla times F = nabla times (nabla U)
Mas existe uma propriedade importante no cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero:
nabla times (nabla U) = 0
Isso acontece porque as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam quando aplicamos o operador rotacional ao gradiente.

Resposta

Portanto, provamos que para um campo vetorial conservativo F, o rotacional dele é nulo:
nabla times F = 0

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