Um campo vetorial
é dito ser conservativo se existir um campo escalar
tal que
. Seja
um campo vetorial conservativo. Prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
em
que é conservativo. Isso significa que existe uma função escalar
tal que
. Nosso objetivo aqui é provar que o rotacional desse campo vetorial
é igual a zero, ou seja,
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e rotacional.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que significa ser um campo conservativo: se
, então
é o gradiente de alguma função escalar
. O gradiente basicamente aponta na direção de maior crescimento de
e tem uma relação direta com as derivadas parciais de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional, representado por
, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para campos conservativos, queremos mostrar que esse giro é nulo.
Passo 4
Substituindo
por
, temos:
Mas existe uma propriedade importante no cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero:
Isso acontece porque as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam quando aplicamos o operador rotacional ao gradiente.
Resposta
Portanto, provamos que para um campo vetorial conservativo
, o rotacional dele é nulo: