Considere um disco maciço de massa
e raio
. A aceleração angular do disco é
, em radianos por segundo ao quadrado. No instante
, o disco tem velocidade angular de
e uma posiçlo angular de 1,5 rad.
a) Determine a posiçäo angular para
.
b) Calcule a energia cinética de rotação para
.
c) Determine o torque para
.
a) Determine a posiçäo angular para
b) Calcule a energia cinética de rotação para
c) Determine o torque para
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com clareza, pegando os números do enunciado):
- Massa do disco:
. - Raio do disco:
. - Aceleração angular (função do tempo):
(em ). - Condições iniciais no instante
: - velocidade angular inicial
. - posição angular inicial
.
- velocidade angular inicial
O enunciado pede:
(a) a posição angular no instante
;
(b) a energia cinética de rotação no instante ;
(c) o torque no instante
.
(a) a posição angular
(b) a energia cinética de rotação no instante
(c) o torque
Passo 2
Entendendo as relações básicas (mini-aula rápida e necessária):
-
é a aceleração angular: taxa de variação da velocidade angular; unidade . -
é a velocidade angular: taxa de variação da posição angular; unidade . -
é a posição angular; unidade .
Relações de integração (análogas ao movimento retilíneo):
Vou primeiro obter
integrando
. Calcule a integral:
Simplificando os coeficientes:
Aplicando a condição inicial
:
Agora avalio em
. Primeiro os poderes:
Substituindo:
Calcule cada termo:
Logo
Passo 3
Agora obtenho
integrando
. Escrevo a integral:
Integro termo a termo:
Portanto:
Avalio em
. Primeiro os poderes:
Substituindo:
Calcule cada termo:
Somando:
Um comentário prático: esse número grande em radianos é normal — radianos não têm unidade grosseira; se quiser em voltas divida por
.
Passo 4
Agora a energia cinética de rotação no instante
.
Mini-aula de fórmula: para um corpo rígido em rotação pura,
onde
é o momento de inércia do corpo (medida de “resistência à rotação”). Para um disco maciço (cilindro sólido) de massa
e raio
que gira em torno do eixo central,
Substituo os dados:
,
. Então
Usando
:
Calculo passo a passo:
Arredondando de forma razoável (dados iniciais com 3 algarismos significativos), escrevo
Passo 5
Cálculo do torque no instante
.
Mini-aula rápida: o torque resultante
e a aceleração angular
estão relacionados por uma forma rotacional da 2ª lei de Newton:
Já calculei
. Agora avalio
usando a expressão dada:
Calcule os poderes:
Então
Agora o torque:
Arredondando adequadamente:
Passo 6
Resumo rápido do que fizemos (para fixar): integramos
para obter
, integramos
para obter
, usamos
para o disco e então apliquei
e
. Dá para fazer tudo com contas diretas, sem calculadora complicada — só atenção às potências e às frações.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)