Considere um disco maciço de massa M=2,0 \mathrm{~kg} e raio R=20 \mathrm{~cm}. A aceleração angular do disco é \alpha=4,0 t^{4}-2,0 t^{2}, em radianos por segundo ao quadrado. No instante t=0, o disco tem velocidade angular de 2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e uma posiçlo angular de 1,5 rad.
a) Determine a posiçäo angular para t=3,0 \mathrm{~s}.
b) Calcule a energia cinética de rotação para \mathbf{t}=\mathbf{3 , 0 s}.
c) Determine o torque para \mathrm{t}=6,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com clareza, pegando os números do enunciado):
  • Massa do disco: M=2{,}0\\ \text{kg}.
  • Raio do disco: R=20\\ \text{cm}=0{,}20\\ \text{m}.
  • Aceleração angular (função do tempo): \alpha(t)=4{,}0\,t^{4}-2{,}0\,t^{2} (em \text{rad}/\text{s}^{2}).
  • Condições iniciais no instante t=0:
    • velocidade angular inicial \omega(0)=2{,}0\\ \text{rad}/\text{s}.
    • posição angular inicial \theta(0)=1{,}5\\ \text{rad}.
O enunciado pede:
(a) a posição angular \theta no instante t=3{,}0\\ \text{s};
(b) a energia cinética de rotação no instante t=3{,}0\\ \text{s};
(c) o torque \tau no instante t=6{,}0\\ \text{s}.

Passo 2

Entendendo as relações básicas (mini-aula rápida e necessária):
  • \alpha(t) é a aceleração angular: taxa de variação da velocidade angular; unidade \text{rad}/\text{s}^{2}.
  • \omega(t) é a velocidade angular: taxa de variação da posição angular; unidade \text{rad}/\text{s}.
  • \theta(t) é a posição angular; unidade \text{rad}.
Relações de integração (análogas ao movimento retilíneo):
\omega(t)=\omega(0)+\int_{0}^{t}\alpha(t')\,dt', \qquad \theta(t)=\theta(0)+\int_{0}^{t}\omega(t')\,dt'.
Vou primeiro obter \omega(t) integrando \alpha(t). Calcule a integral:
\int\alpha(t)\,dt=\int\bigl(4{,}0\,t^{4}-2{,}0\,t^{2}\bigr)dt =4{,}0\cdot\frac{t^{5}}{5}-2{,}0\cdot\frac{t^{3}}{3}.
Simplificando os coeficientes:
\int\alpha(t)\,dt=\frac{4}{5}t^{5}-\frac{2}{3}t^{3}.
Aplicando a condição inicial \omega(0)=2{,}0\\ \text{rad}/\text{s}:
\omega(t)=2{,}0+\frac{4}{5}t^{5}-\frac{2}{3}t^{3}.
Agora avalio em t=3{,}0\\ \text{s}. Primeiro os poderes:
t^{5}=3^{5}=243,\qquad t^{3}=3^{3}=27.
Substituindo:
\omega(3)=2{,}0+\frac{4}{5}\cdot243-\frac{2}{3}\cdot27.
Calcule cada termo:
\frac{4}{5}\cdot243=\frac{972}{5}=194{,}4, \qquad \frac{2}{3}\cdot27=18.
Logo
\omega(3)=2{,}0+194{,}4-18=178{,}4\\ \text{rad}/\text{s}.

Passo 3

Agora obtenho \theta(t) integrando \omega(t). Escrevo a integral:
\theta(t)=\theta(0)+\int_{0}^{t}\Bigl(2{,}0+\frac{4}{5}t'^{5}-\frac{2}{3}t'^{3}\Bigr)dt'.
Integro termo a termo:
\int 2{,}0\,dt'=2{,}0\,t', \qquad \int \frac{4}{5}t'^{5}dt'=\frac{4}{5}\cdot\frac{t'^{6}}{6}=\frac{2}{15}t'^{6}, \qquad \int \frac{2}{3}t'^{3}dt'=\frac{2}{3}\cdot\frac{t'^{4}}{4}=\frac{1}{6}t'^{4}.
Portanto:
\theta(t)=1{,}5+2{,}0\,t+\frac{2}{15}t^{6}-\frac{1}{6}t^{4}.
Avalio em t=3{,}0\\ \text{s}. Primeiro os poderes:
t^{6}=3^{6}=729,\qquad t^{4}=3^{4}=81.
Substituindo:
\theta(3)=1{,}5+2{,}0\cdot3+\frac{2}{15}\cdot729-\frac{1}{6}\cdot81.
Calcule cada termo:
2{,}0\cdot3=6{,}0, \qquad \frac{2}{15}\cdot729=\frac{1458}{15}=97{,}2, \qquad \frac{1}{6}\cdot81=13{,}5.
Somando:
\theta(3)=1{,}5+6{,}0+97{,}2-13{,}5=91{,}2\\ \text{rad}.
Um comentário prático: esse número grande em radianos é normal — radianos não têm unidade grosseira; se quiser em voltas divida por 2\pi.

Passo 4

Agora a energia cinética de rotação no instante t=3{,}0\\ \text{s}.
Mini-aula de fórmula: para um corpo rígido em rotação pura,
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde I é o momento de inércia do corpo (medida de “resistência à rotação”). Para um disco maciço (cilindro sólido) de massa M e raio R que gira em torno do eixo central,
I=\tfrac{1}{2}M R^{2}.
Substituo os dados: M=2{,}0\\ \text{kg}, R=0{,}20\\ \text{m}. Então
I=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot(0{,}20)^{2}=1{,}0\cdot0{,}04=0{,}04\\ \text{kg}\,\text{m}^{2}.
Usando \omega(3)=178{,}4\\ \text{rad}/\text{s}:
K=\tfrac{1}{2}\cdot I\cdot\omega^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}04\cdot(178{,}4)^{2}.
Calculo passo a passo:
(178{,}4)^{2}=31826{,}56, \qquad 0{,}04\cdot31826{,}56=1273{,}0624, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot1273{,}0624=636{,}5312\\ \text{J}.
Arredondando de forma razoável (dados iniciais com 3 algarismos significativos), escrevo
K\approx636{,}5\\ \text{J}.

Passo 5

Cálculo do torque no instante t=6{,}0\\ \text{s}.
Mini-aula rápida: o torque resultante \tau e a aceleração angular \alpha estão relacionados por uma forma rotacional da 2ª lei de Newton:
\tau = I\,\alpha.
Já calculei I=0{,}04\\ \text{kg}\,\text{m}^{2}. Agora avalio \alpha(6) usando a expressão dada:
\alpha(6)=4{,}0\cdot 6^{4}-2{,}0\cdot6^{2}.
Calcule os poderes:
6^{2}=36,\qquad 6^{4}=36^{2}=1296.
Então
\alpha(6)=4{,}0\cdot1296-2{,}0\cdot36=5184-72=5112\\ \text{rad}/\text{s}^{2}.
Agora o torque:
\tau=I\,\alpha(6)=0{,}04\cdot5112=204{,}48\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Arredondando adequadamente:
\tau\approx204{,}5\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 6

Resumo rápido do que fizemos (para fixar): integramos \alpha(t) para obter \omega(t), integramos \omega(t) para obter \theta(t), usamos I=\tfrac{1}{2}MR^{2} para o disco e então apliquei K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2} e \tau=I\alpha. Dá para fazer tudo com contas diretas, sem calculadora complicada — só atenção às potências e às frações.

Resposta

(a) \theta(3{,}0\\ \text{s})=91{,}2\\ \text{rad}
(b) K(3{,}0\\ \text{s})\approx636{,}5\\ \text{J}
(c) \tau(6{,}0\\ \text{s})\approx204{,}5\\ \text{N}\cdot\text{m}

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