Usando o Trasnformada de Laplace resolva os problemas a seguir:
\text { (a) }\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ y^{\prime}(0) & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais e pede achar a solução y(t). Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: y'' + 3y' + 2y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O objetivo é determinar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Vou apresentar a ferramenta que vamos usar (relembrando passo a passo o que cada coisa significa).
Definição da transformada de Laplace: para uma função de tempo y(t) definida para t\ge 0, a sua transformada de Laplace é a função de s dada por
\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,y(t)\,dt.
Explicando as variáveis:
  • t é a variável de tempo (o que queremos na solução final).
  • s é a variável complexa (ou real, para nossas manipulações algébricas) no domínio transformado.
  • Y(s) é a transformada de Laplace de y(t): é uma função de s.
Propriedades que usaremos (sempre válidas sob hipóteses usuais de crescimento de y):
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{a\,f(t)+b\,g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g\}(s).
  2. Transformada das derivadas (muito útil para equações diferenciais com condições iniciais). Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=s\,Y(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui y(0) e y'(0) são as condições iniciais, que aparecem naturalmente na transformada.
Também usaremos pares transformada inversa básicos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t}.
Isto significa que, se obtermos uma expressão de Y(s) como soma de termos da forma \dfrac{\text{const}}{s+a}, podemos imediatamente escrever y(t) como soma de constantes vezes e^{-a t}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), usa-se a fórmula para derivadas:
Transformando \,y''(t):
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Transformando \,3y'(t):
3\mathcal{L}\{y'\}(s)=3\bigl(s\,Y(s)-y(0)\bigr).
Transformando \,2y(t):
2\mathcal{L}\{y\}(s)=2Y(s).
Somando tudo e usando que a transformada do lado direito zero é zero, obtemos
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+3\bigl(s\,Y(s)-y(0)\bigr)+2Y(s)=0.
Agora substituímos as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1-0\bigr)+3\bigl(s\,Y(s)-1\bigr)+2Y(s)=0.
Simplificando os termos constantes:
s^{2}Y(s)-s+3sY(s)-3+2Y(s)=0.

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm Y(s) e os termos constantes, para isolar Y(s):
\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)Y(s)-(s+3)=0.
Passando o termo constante para o outro lado:
\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)Y(s)=s+3.
Logo
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}.
Fatoramos o polinômio do denominador:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Portanto
Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.

Passo 5

Agora fazemos decomposição em frações simples para escrever Y(s)\) como soma de termos cujas transformadas inversas conhecemos. Procuramos constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos
s+3 = A(s+2)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
s+3 = (A+B)s + (2A + B).
Comparando coeficientes do polinômio em s (coeficiente de s e termo constante):
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] 2A + B = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda: (2A+B)-(A+B)=A=2\]. Então \(A=2. Usando A+B=1 vem B=1-A= -1.
Portanto
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}.]

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa termo a termo usando o par \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=2\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}(t)-\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}(t).
Logo
y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (para ganhar confiança): y(0)=2e^{0}-e^{0}=2-1=1,
y'(t)=-2e^{-t}+2e^{-2t}\quad\Rightarrow\quad y'(0)=-2+2=0.
As condições iniciais são satisfeitas, e portanto a solução está correta. Boa! Você chegou lá — usando transformada de Laplace a conta fica bem mecânica e segura.

Resposta

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

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