Isto significa que, se obtermos uma expressão de Y(s) como soma de termos da forma \dfrac{\text{const}}{s+a}, podemos imediatamente escrever y(t) como soma de constantes vezes e^{-a t}.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), usa-se a fórmula para derivadas:
Transformando \,y''(t):
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Transformando \,3y'(t):
3\mathcal{L}\{y'\}(s)=3\bigl(s\,Y(s)-y(0)\bigr).
Transformando \,2y(t):
2\mathcal{L}\{y\}(s)=2Y(s).
Somando tudo e usando que a transformada do lado direito zero é zero, obtemos
Agrupamos os termos que contêm Y(s) e os termos constantes, para isolar Y(s):
\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)Y(s)-(s+3)=0.
Passando o termo constante para o outro lado:
\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)Y(s)=s+3.
Logo
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}.
Fatoramos o polinômio do denominador:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Portanto
Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.
Passo 5
Agora fazemos decomposição em frações simples para escrever Y(s)\) como soma de termos cujas transformadas inversas conhecemos. Procuramos constantes \(A\) e \(B\) tais que
\[\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos
s+3 = A(s+2)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
s+3 = (A+B)s + (2A + B).
Comparando coeficientes do polinômio em s (coeficiente de s e termo constante):
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] 2A + B = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda: (2A+B)-(A+B)=A=2\]. Então \(A=2. Usando A+B=1 vem B=1-A= -1.
Portanto
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}.]
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa termo a termo usando o par \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}:
As condições iniciais são satisfeitas, e portanto a solução está correta. Boa! Você chegou lá — usando transformada de Laplace a conta fica bem mecânica e segura.