- Demonstrar que o menor subgrupo de
que contém ( 1,2 ) e
é
. (Em outras palavras, êstes ciclos geram
.)
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede e o que é dado):
- É dado o grupo simétrico sobre
elementos e duas permutações em : - a transposição
; - o
-ciclo .
- a transposição
- O que o enunciado pede: mostrar que o menor subgrupo de
que contém e é o próprio . Em outras palavras, provar que as duas permutações dadas geram .
Passo 2
Primeira ideia útil (conceito de conjugação e sua ação em transposições).
- Definição rápida (sem jargão): se
e são permutações em , a conjugação de por é a permutação . Ela corresponde a “relabelar” os elementos segundo . - Propriedade chave que vamos usar e provar rapidamente:
isto é, a conjugação envia a transposição para a transposição que troca com . - Justificativa simples dessa propriedade: pegue um elemento arbitrário
. - Se
então , aplicando obtemos , e depois volta para . Logo vai para . - Se
análogo: vai para . - Se
não é nem nem , então não é nem , então fixa , e portanto fixa .
Assim,troca exatamente com , isto é, é .
- Se
Passo 3
Aplicar a propriedade ao caso concreto com o
-ciclo
.
- Denote
. Considere potências com . - Pela propriedade de conjugação:
- Observação sobre
: (adição feita módulo , entendendo como , etc.). Portanto onde as adições são moduladas por . - Para
obtemos explicitamente as transposições adjacentes (Para aparece a transposição , que também é válida, mas já temos as transposições adjacentes padrão.)
Passo 4
Mostrar que as transposições adjacentes
geram todo
.
- Fato clássico (que vou demonstrar de forma elementar): as transposições adjacentes
geram todas as transposições arbitrárias com . E como qualquer permutação é produto de transposições, segue que essas transposições geram . - Construção explícita de
a partir das adjacentes (assuma ): Vou explicar o porquê disso funcionar: - A parte da esquerda
“empurra” o elemento para a posição de atravessando sucessivamente as posições; de forma análoga ela desloca outros elementos para a esquerda. - Em seguida, a parte
“recoloca” todos os elementos, exceto trocando com . - Para checar formalmente, verifique a ação sobre cada rótulo:
- O elemento
é enviado pela primeira sequência até , e depois a segunda sequência o fixa em . - O elemento
é movido para pela segunda sequência invertida e acaba em . - Qualquer elemento fora do intervalo
é preservado por todas essas transposições.
- O elemento
- Assim o produto tem exatamente o efeito de
.
- A parte da esquerda
- Portanto, conhecendo todas as transposições adjacentes, podemos formar qualquer transposição
.
Passo 5
Concluir que as permutações dadas geram
.
- Do
Passo 6
- Do
Passo 7
- Logo o subgrupo de
gerado por e contém todas as transposições e assim contém todo . Sendo este subgrupo contido em por definição, ele é exatamente .