Esboçe o gráfico (por três períodos) e encontre a série de Fourier.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0, & \text { se } & -3 \leqslant x<-1, \\\\ 1, & \text { se } & -1 \leqslant x<1, \\\\ 0, & \text { se } & 1<x \leq 3 .\end{array}\right.
f(x+6)=f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar o gráfico de [f) por três períodos.
  • Encontrar a série de Fourier de f.
Informações dadas (peguei-as do enunciado):
  • A função é periódica com período T=6: f(x+6)=f(x).
  • No período central [-3,3] a função vale
f(x)=\begin{cases} 0, & -3 \le x < -1,\\[4pt] 1, & -1 \le x < 1,\\[4pt] 0, & 1 < x \le 3. \end{cases}
  • Em cada período o trecho onde f=1\] tem comprimento \(2 (de -1 a 1), e o resto do período é zero.]

Passo 2

Vou lembrar a forma padrão da série de Fourier (essa é a fórmula que se usa para funções de período T):
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\omega_0 x)+b_n\sin(n\omega_0 x)\bigr),
onde \omega_0=\dfrac{2\pi}{T} é a frequência fundamental. As fórmulas dos coeficientes são
a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\cos(n\omega_0 x)\,dx,
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\sin(n\omega_0 x)\,dx.
Aqui T=6, portanto \omega_0=\dfrac{\pi}{3}.
Observação útil (explicando por que isso facilita): a função dada é par porque f(-x)=f(x) para todo x (verificando com a definição em [-3,3]), e a extensão periódica mantém a paridade. Para uma função par, todos os coeficientes b_n (coeficientes das senos) são zero. Isso reduz trabalho: só precisamos calcular a_0 e os a_n.

Passo 3

Primeiro calcule [a_0) (que dá o termo constante da série, lembrando que a constante no somatório é a_0/2).
Escolho integrar sobre [0,6]. Observe que, ao transferir o intervalo [-3,3] para [0,6] (somando 3), obtemos que em [0,6)
f(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x < 2,\\[4pt] 1, & 2\le x <4,\\[4pt] 0, & 4\le x <6. \end{cases}
Logo a integral sobre um período é simplesmente a área onde f=1\], que tem comprimento \(2. Assim
a_0=\frac{2}{6}\int_{0}^{6} f(x)\,dx=\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}.
Portanto o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{3}. (Isso bate com a média da função: fração do período em que f=1 é 2/6=1/3.)]

Passo 4

Agora calcule a_n para n\ge1. Usando a expressão sobre [0,6] e o fato de que f só é diferente de zero em [2,4), temos
a_n=\frac{2}{6}\int_{0}^{6} f(x)\cos\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx =\frac{1}{3}\int_{2}^{4}\cos\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx.
Fazendo a primitiva de \cos:
\int_{2}^{4}\cos\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx =\frac{1}{n\omega_0}\Bigl[\sin\bigl(n\omega_0 x\bigr)\Bigr]_{x=2}^{x=4} =\frac{1}{n\omega_0}\bigl(\sin(4n\omega_0)-\sin(2n\omega_0)\bigr).
Lembrando \omega_0=\dfrac{\pi}{3}, temos 2n\omega_0=\dfrac{2n\pi}{3} e 4n\omega_0=\dfrac{4n\pi}{3}. Substituindo e simplificando o fator \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{n\omega_0}:
a_n=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n(\pi/3)}\bigl(\sin\bigl(\tfrac{4n\pi}{3}\bigr)-\sin\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)\bigr) =\frac{1}{n\pi}\bigl(\sin\bigl(\tfrac{4n\pi}{3}\bigr)-\sin\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)\bigr).

Passo 5

Vou simplificar a combinação de senos usando a identidade
\sin A-\sin B = 2\cos\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Com A=\tfrac{4n\pi}{3} e B=\tfrac{2n\pi}{3} obtemos
\sin\bigl(\tfrac{4n\pi}{3}\bigr)-\sin\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr) =2\cos\bigl(n\pi\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr).
Como \cos(n\pi)=(-1)^n, isso dá
a_n=\frac{1}{n\pi}\cdot 2(-1)^n\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr) =\frac{2(-1)^n}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr).
Observação prática: \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)=0 quando n é múltiplo de 3, logo a_n=0 para n múltiplo de 3. Para os demais n os coeficientes seguem a fórmula acima.

Passo 6

Calcule b_n para confirmar que é zero (por paridade já esperávamos isso, aqui fica o cálculo direto):
b_n=\frac{1}{3}\int_{2}^{4}\sin\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx =\frac{1}{3}\cdot\frac{-1}{n\omega_0}\bigl(\cos(4n\omega_0)-\cos(2n\omega_0)\bigr).
Com \omega_0=\tfrac{\pi}{3} e simplificando o fator -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{n\omega_0}=-\dfrac{1}{n\pi}, obtemos
b_n=-\frac{1}{n\pi}\bigl(\cos\bigl(\tfrac{4n\pi}{3}\bigr)-\cos\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)\bigr).
Usando a identidade \cos A-\cos B=-2\sin\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr) com os mesmos A,B dá um fator \sin(n\pi) multiplicando \sin(\tfrac{n\pi}{3}). Mas \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, portanto
b_n=0\qquad\text{para todo }n\ge1,
confirmando o que a paridade já dizia.

Passo 7

Escrevendo a série completa (com os resultados encontrados): a série de Fourier de f é
f(x)=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n\pi}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{3}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr).
Comentário rápido sobre os termos: se n é múltiplo de 3 então \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)=0 e o termo some; portanto apenas n\not\equiv0\pmod 3 contribuem.

Passo 8

Instruções para esboçar o gráfico por três períodos (desenho manual, passo a passo):
  • A função é composta por “pulsos” de altura 1 e largura 2, repetidos a cada 6.
  • Regra geral: para todo k\in\mathbb{Z},
f(x)=1\quad\text{se }-1+6k\le x<1+6k, \qquad f(x)=0\quad\text{caso contrário (no mesmo período)}.áí
  • Para desenhar três períodos centrais (por exemplo no intervalo [-9,9]) desenhe retângulos de altura 1 nos intervalos (peguei esses valores aplicando k=-1,0,1):
\text{para }k=-1:\\ [-7,-5],\qquad k=0:\\ [-1,1],\qquad k=1:\\ [5,7].
  • Entre esses retângulos a função vale 0. Marque linhas verticais nas fronteiras -9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9 e preencha os retângulos correspondentes. (Se quiser, desenhe contorno em forma de degrau com extremos incluídos/abertos conforme o enunciado.)

Resposta

Esboço (três períodos, por exemplo em [-9,9]): f(x)=1 em [-7,-5], [-1,1], [5,7] e f(x)=0 nos trechos restantes do intervalo [-9,9].\n
Série de Fourier:
f(x)=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n\pi}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{3}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr).

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