Esboçe o gráfico (por três períodos) e encontre a série de Fourier. f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0, & \text { se } & -3 \leqslant x<-1, \\\\ 1, & \text { se } & -1 \leqslant x<1, \\\\ 0, & \text { se } & 1<x \leq 3 .\end{array}\right.
f(x+6)=f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Esboçar o gráfico de [f) por três períodos.
Encontrar a série de Fourier de f.
Informações dadas (peguei-as do enunciado):
A função é periódica com período T=6: f(x+6)=f(x).
No período central [-3,3] a função vale
f(x)=\begin{cases} 0, & -3 \le x < -1,\\[4pt] 1, & -1 \le x < 1,\\[4pt] 0, & 1 < x \le 3. \end{cases}
Em cada período o trecho onde f=1\] tem comprimento \(2 (de -1 a 1), e o resto do período é zero.]
Passo 2
Vou lembrar a forma padrão da série de Fourier (essa é a fórmula que se usa para funções de período T):
Observação útil (explicando por que isso facilita): a função dada é par porque f(-x)=f(x) para todo x (verificando com a definição em [-3,3]), e a extensão periódica mantém a paridade. Para uma função par, todos os coeficientes b_n (coeficientes das senos) são zero. Isso reduz trabalho: só precisamos calcular a_0 e os a_n.
Passo 3
Primeiro calcule [a_0) (que dá o termo constante da série, lembrando que a constante no somatório é a_0/2).
Escolho integrar sobre [0,6]. Observe que, ao transferir o intervalo [-3,3] para [0,6] (somando 3), obtemos que em [0,6)
f(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x < 2,\\[4pt] 1, & 2\le x <4,\\[4pt] 0, & 4\le x <6. \end{cases}
Logo a integral sobre um período é simplesmente a área onde f=1\], que tem comprimento \(2. Assim
Lembrando \omega_0=\dfrac{\pi}{3}, temos 2n\omega_0=\dfrac{2n\pi}{3} e 4n\omega_0=\dfrac{4n\pi}{3}. Substituindo e simplificando o fator \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{n\omega_0}:
Observação prática: \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)=0 quando n é múltiplo de 3, logo a_n=0 para n múltiplo de 3. Para os demais n os coeficientes seguem a fórmula acima.
Passo 6
Calcule b_n para confirmar que é zero (por paridade já esperávamos isso, aqui fica o cálculo direto):
Usando a identidade \cos A-\cos B=-2\sin\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr) com os mesmos A,B dá um fator \sin(n\pi) multiplicando \sin(\tfrac{n\pi}{3}). Mas \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, portanto
b_n=0\qquad\text{para todo }n\ge1,
confirmando o que a paridade já dizia.
Passo 7
Escrevendo a série completa (com os resultados encontrados): a série de Fourier de f é
Comentário rápido sobre os termos: se n é múltiplo de 3 então \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)=0 e o termo some; portanto apenas n\not\equiv0\pmod 3 contribuem.
Passo 8
Instruções para esboçar o gráfico por três períodos (desenho manual, passo a passo):
A função é composta por “pulsos” de altura 1 e largura 2, repetidos a cada 6.
Regra geral: para todo k\in\mathbb{Z},
f(x)=1\quad\text{se }-1+6k\le x<1+6k, \qquad f(x)=0\quad\text{caso contrário (no mesmo período)}.áí
Para desenhar três períodos centrais (por exemplo no intervalo [-9,9]) desenhe retângulos de altura 1 nos intervalos (peguei esses valores aplicando k=-1,0,1):
Entre esses retângulos a função vale 0. Marque linhas verticais nas fronteiras -9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9 e preencha os retângulos correspondentes. (Se quiser, desenhe contorno em forma de degrau com extremos incluídos/abertos conforme o enunciado.)
Resposta
Esboço (três períodos, por exemplo em [-9,9]): f(x)=1 em [-7,-5], [-1,1], [5,7] e f(x)=0 nos trechos restantes do intervalo [-9,9].\n
Série de Fourier: