1. Calcule o produto misto \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w}), sendo \vec{u}=(3,1,0) e \vec{v}=(-1,2,1) e \vec{w}=(1,-2,3).

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede um único valor:
  • Vetores fornecidos:
    • \vec{u}=(3,1,0)
    • \vec{v}=(-1,2,1)
    • \vec{w}=(1,-2,3)
  • O que é pedido: calcular o produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).

Passo 2

O que é o produto misto? Vou explicar como funciona passo a passo.
  • O produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} é um vetor perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{w}. Ele pode ser calculado com a regra do determinante:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ v_1 & v_2 & v_3 \\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}.
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários das direções x,y,z, e (v_1,v_2,v_3) e (w_1,w_2,w_3) são as componentes de \vec{v} e \vec{w}.
  • O produto escalar de um vetor \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) com outro \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\vec{u}\cdot\vec{a}=u_1a_1+u_2a_2+u_3a_3.
  • O produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) também pode ser calculado como o determinante 3×3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})= \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}.
Esse número representa (em valor absoluto) o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores, com sinal determinado pela orientação.

Passo 3

Calculando primeiro \vec{v}\times\vec{w} usando as componentes \vec{v}=(-1,2,1) e \vec{w}=(1,-2,3).
Usando a regra do determinante para coordenadas:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}.

Passo 4

Expandindo o determinante por componentes (mostrando cada termo):
  • Componente em \mathbf{i}:
\mathbf{i}\,(2\cdot3 - 1\cdot(-2)) = \mathbf{i}\,(6 - (-2)) = \mathbf{i}\cdot8.
  • Componente em \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo da expansão):
-\mathbf{j}\,((-1)\cdot3 - 1\cdot1) = -\mathbf{j}\,(-3 - 1) = -\mathbf{j}\,(-4) = \mathbf{j}\cdot4.
  • Componente em \mathbf{k}:
\mathbf{k}\,((-1)\cdot(-2) - 2\cdot1) = \mathbf{k}\,(2 - 2) = \mathbf{k}\cdot0.

Passo 5

Portanto
\vec{v}\times\vec{w} = (8,\,4,\,0).
Dou uma pequena checagem mental: as componentes são inteiras e simples, tudo consistente com os cálculos acima.

Passo 6

Agora faço o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) com \vec{u}=(3,1,0) e \vec{v}\times\vec{w}=(8,4,0):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 3\cdot8 + 1\cdot4 + 0\cdot0 = 24 + 4 + 0 = 28.

Passo 7

Como verificação alternativa (mesmo resultado por outra via): calcular o determinante 3×3 diretamente com as linhas sendo \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix}2 & 1 \\\\ -2 & 3\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}-1 & 1 \\\\ 1 & 3\end{vmatrix} + 0\cdot(\cdots).
Calculando os menores:
3\,(2\cdot3 - 1\cdot(-2)) - 1\,((-1)\cdot3 - 1\cdot1) = 3\,(6+2) - 1\,(-3-1) = 3\cdot8 - (-4) = 24 + 4 = 28.
Confere com o resultado anterior.

Resposta

28

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