- Demonstrar que não existe uma permutação
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que não existe uma permutação
tal que
Informações relevantes dadas no enunciado:
- À esquerda aparece a conjugação da transposição
por , ou seja . - À direita aparece o produto de duas transposições disjuntas
e .
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (explicada passo a passo): usar o sinal (paridade) de uma permutação. O sinal é uma função que associa a cada permutação o número
(par) ou
(ímpar). Vou definir e explicar propriedades que usarei.
Definição (intuitiva) e propriedade importante:
- O sinal de uma transposição (um ciclo de comprimento
) vale . Ou seja, para qualquer transposição tem-se . - O sinal é multiplicativo: para quaisquer permutações
e ,
- O sinal da identidade é
: .
Essas propriedades seguem da definição de sinal como, onde é o número de transposições necessárias para escrever a permutação (ou alternadamente pelo número de inversões); aqui usaremos só as consequências acima.
Passo 3
Propriedade sobre inversos e conjugação:
- Para qualquer permutação
vale . Explicação: como , temos . Mas como é ou , tem-se , logo . - Sendo assim, o sinal é invariante por conjugação: para qualquer permutação
e qualquer ,
porque
e
. Em palavras: conjugar uma permutação não altera sua paridade (ímpar/ par).
Passo 4
Calcular o sinal do lado esquerdo da igualdade proposta:
- A permutação na qual nos perguntam se existe conjugante é
, que é uma transposição. Logo
Pelo argumento do passo anterior, se existisse
tal que
, então o lado direito teria que ter o mesmo sinal, isto é
.
Passo 5
Calcular o sinal do lado direito:
- O lado direito é o produto de duas transposições disjuntas
e . Cada transposição tem sinal . Usando multiplicatividade do sinal,
Portanto
é uma permutação par (sinal
).
Passo 6
Conclusão por contradição:
- Conjugação preserva sinal (Passo 3). O elemento
tem sinal (Passo 4), enquanto tem sinal (Passo 5). Como , não pode haver com
Logo tal permutação
não existe.
Resposta
Não existe tal permutação
.