1. Demonstrar que não existe uma permutação a tal que a^{-1}(1,2) a=(3,4)(1,5).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que não existe uma permutação a tal que
a^{-1}(1\,2)a=(3\,4)(1\,5).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • À esquerda aparece a conjugação da transposição (1\,2) por a, ou seja a^{-1}(1\,2)a.
  • À direita aparece o produto de duas transposições disjuntas (3\,4) e (1\,5).

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (explicada passo a passo): usar o sinal (paridade) de uma permutação. O sinal é uma função que associa a cada permutação o número +1 (par) ou -1 (ímpar). Vou definir e explicar propriedades que usarei.
Definição (intuitiva) e propriedade importante:
  • O sinal de uma transposição (um ciclo de comprimento 2) vale -1. Ou seja, para qualquer transposição (i\,j) tem-se \operatorname{sgn}((i\,j))=-1.
  • O sinal é multiplicativo: para quaisquer permutações \sigma e \tau,
\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau).
  • O sinal da identidade é +1: \operatorname{sgn}(\mathrm{id})=+1.
    Essas propriedades seguem da definição de sinal como (-1)^{N}, onde N é o número de transposições necessárias para escrever a permutação (ou alternadamente pelo número de inversões); aqui usaremos só as consequências acima.

Passo 3

Propriedade sobre inversos e conjugação:
  • Para qualquer permutação a vale \operatorname{sgn}(a^{-1})=\operatorname{sgn}(a). Explicação: como \operatorname{sgn}(a)\operatorname{sgn}(a^{-1})=\operatorname{sgn}(aa^{-1})=\operatorname{sgn}(\mathrm{id})=+1, temos \operatorname{sgn}(a^{-1})=\operatorname{sgn}(a)^{-1}. Mas como \operatorname{sgn}(a) é +1 ou -1, tem-se \operatorname{sgn}(a)^{-1}=\operatorname{sgn}(a), logo \operatorname{sgn}(a^{-1})=\operatorname{sgn}(a).
  • Sendo assim, o sinal é invariante por conjugação: para qualquer permutação \sigma e qualquer a,
\operatorname{sgn}(a^{-1}\sigma a)=\operatorname{sgn}(a^{-1})\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(a)=\operatorname{sgn}(\sigma),
porque \operatorname{sgn}(a^{-1})=\operatorname{sgn}(a) e \operatorname{sgn}(a)\operatorname{sgn}(a)=1. Em palavras: conjugar uma permutação não altera sua paridade (ímpar/ par).

Passo 4

Calcular o sinal do lado esquerdo da igualdade proposta:
  • A permutação na qual nos perguntam se existe conjugante é (1\,2), que é uma transposição. Logo
\operatorname{sgn}\bigl((1\,2)\bigr) = -1.
Pelo argumento do passo anterior, se existisse a tal que a^{-1}(1\,2)a=(3\,4)(1\,5), então o lado direito teria que ter o mesmo sinal, isto é -1.

Passo 5

Calcular o sinal do lado direito:
  • O lado direito é o produto de duas transposições disjuntas (3\,4) e (1\,5). Cada transposição tem sinal -1. Usando multiplicatividade do sinal,
\operatorname{sgn}\bigl((3\,4)(1\,5)\bigr)=\operatorname{sgn}((3\,4))\operatorname{sgn}((1\,5)) = (-1)\cdot(-1)=+1.
Portanto (3\,4)(1\,5) é uma permutação par (sinal +1).

Passo 6

Conclusão por contradição:
  • Conjugação preserva sinal (Passo 3). O elemento (1\,2) tem sinal -1 (Passo 4), enquanto (3\,4)(1\,5) tem sinal +1 (Passo 5). Como -1\neq +1, não pode haver a com
a^{-1}(1\,2)a=(3\,4)(1\,5).
Logo tal permutação a não existe.

Resposta

Não existe tal permutação a.

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