- Dadas as permutações
e
, determinar uma permutação
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá duas permutações no grupo simétrico (pelo menos em
):
-
, -
.
Pede-se encontrar uma permutação
tal que
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas!): conjugação por uma permutação relabela os elementos dentro de ciclos. Mais precisamente, para qualquer permutação
e qualquer transposição
vale
Aplicando inverso dos lados, também é válido
Isto significa que conjugando um produto de transposições, cada transposição é transformada na transposição formada pelas imagens (ou contra-imagens) dos seus pontos. Logo, para ter
precisamos que as duas transposições disjuntas de
sejam levadas nas duas transposições disjuntas de
(pode ser em qualquer ordem).
Passo 3
Para simplificar a construção, é conveniente trabalhar com
. A condição
fica
Pelo que vimos, isso exige que
sejam exatamente os dois elementos de uma das transposições em
(ou seja,
ou
), e que
sejam os dois elementos da outra transposição de
. Podemos escolher uma correspondência conveniente. Por exemplo, escolhemos mapear a transposição
de
para
de
e
para
. Assim definimos:
Passo 4
Falta definir
e
de modo que
seja bijetora (ou seja, uma permutação). Já usamos os valores
como imagens de
; restam as imagens
disponíveis. Escolhemos, por simplicidade,
Assim obtemos
escrita em forma de duas linhas:
Verificação rápida de conjugação por ciclos: pela propriedade,
e
. Portanto
, como queríamos. Lembre-se que
.]
Passo 5
Agora calculamos
. Invertendo a tabela de
(pegando as linhas ao contrário):
Ou seja,
envia
Vamos escrever
em notação de ciclos: começando em
,
logo
é o ciclo de comprimento 6
Passo 6
Checagem final (rápida): como construímos
de modo que
e
, segue que
portanto
resolve o problema.