1. Dadas as permutações x=(1,2)(3,4) e y=(5,6)(1,3), determinar uma permutação a tal que a^{-1} x a=y.

Passo 1

O enunciado dá duas permutações no grupo simétrico (pelo menos em \{1,\dots,6\}):
  • x=(1\,2)(3\,4),
  • y=(5\,6)(1\,3).
Pede-se encontrar uma permutação a tal que
a^{-1} x a = y.

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas!): conjugação por uma permutação relabela os elementos dentro de ciclos. Mais precisamente, para qualquer permutação a e qualquer transposição (i\,j) vale
a\,(i\,j)\,a^{-1}=(a(i)\;a(j)).
Aplicando inverso dos lados, também é válido
a^{-1}\,(i\,j)\,a=(a^{-1}(i)\;a^{-1}(j)).
Isto significa que conjugando um produto de transposições, cada transposição é transformada na transposição formada pelas imagens (ou contra-imagens) dos seus pontos. Logo, para ter a^{-1} x a=y precisamos que as duas transposições disjuntas de x sejam levadas nas duas transposições disjuntas de y (pode ser em qualquer ordem).

Passo 3

Para simplificar a construção, é conveniente trabalhar com b=a^{-1}. A condição a^{-1} x a=y fica
b\,x\,b^{-1}=y.
Pelo que vimos, isso exige que
b(1),\,b(2)
sejam exatamente os dois elementos de uma das transposições em y (ou seja, \{5,6\} ou \{1,3\}), e que
b(3),\,b(4)
sejam os dois elementos da outra transposição de y. Podemos escolher uma correspondência conveniente. Por exemplo, escolhemos mapear a transposição (1\,2) de x para (5\,6) de y e (3\,4) para (1\,3). Assim definimos:
b(1)=5,\quad b(2)=6,\quad b(3)=1,\quad b(4)=3.

Passo 4

Falta definir b(5) e b(6) de modo que b seja bijetora (ou seja, uma permutação). Já usamos os valores \{5,6,1,3\} como imagens de 1,2,3,4; restam as imagens \{2,4\} disponíveis. Escolhemos, por simplicidade,
b(5)=2,\quad b(6)=4.
Assim obtemos b escrita em forma de duas linhas:
b=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\[4pt] 5 & 6 & 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Verificação rápida de conjugação por ciclos: pela propriedade, b(1\,2)b^{-1}=(b(1)\;b(2))=(5\,6) e b(3\,4)b^{-1}=(b(3)\;b(4))=(1\,3). Portanto bxb^{-1}=(5\,6)(1\,3)=y, como queríamos. Lembre-se que b=a^{-1}.]

Passo 5

Agora calculamos a=b^{-1}. Invertendo a tabela de b (pegando as linhas ao contrário):
b^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\[4pt] 3 & 5 & 4 & 6 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Ou seja, a envia
1\mapsto3,\; 2\mapsto5,\; 3\mapsto4,\; 4\mapsto6,\; 5\mapsto1,\; 6\mapsto2.
Vamos escrever a em notação de ciclos: começando em 1,
1\to3,\; 3\to4,\; 4\to6,\; 6\to2,\; 2\to5,\; 5\to1,
logo a é o ciclo de comprimento 6
a=(1\;3\;4\;6\;2\;5).]

Passo 6

Checagem final (rápida): como construímos b=a^{-1} de modo que b(1\,2)b^{-1}=(5\,6) e b(3\,4)b^{-1}=(1\,3), segue que
a^{-1} x a = b x b^{-1} = (5\,6)(1\,3)=y,
portanto a=(1\;3\;4\;6\;2\;5) resolve o problema.

Resposta

a=(1\;3\;4\;6\;2\;5)

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