1. Demonstrar que não existe a tal que a^{-1}(1,2,3) a=(1,3) (5,7,8).

Passo 1

O enunciado dá a permutação (1,2,3) e a permutação (1,3)(5,7,8) e pede para demonstrar que não existe a (no grupo simétrico apropriado) tal que
a^{-1}(1,2,3)\,a = (1,3)(5,7,8).
Informações relevantes fornecidas:
  • A esquerda está uma 3-ciclo: (1,2,3).
  • A direita é o produto de uma transposição e de um 3-ciclo disjuntos: (1,3) e (5,7,8).
    A tarefa é provar que nenhuma conjugação por a transforma (1,2,3) nessa permutação da direita.

Passo 2

Explicar o conceito que vou usar: ordem de uma permutação.
  • A ordem de uma permutação g é o menor inteiro positivo m tal que g^m é a identidade.
  • Para um k-ciclo, a ordem é k. Portanto a ordem de (1,2,3) é 3, porque (1,2,3)^3=\mathrm{id} e potências menores não dão identidade.
Vou calcular explicitamente a ordem da permutação à esquerda. Como já disse, para a 3-ciclo (1,2,3) vale:
\text{ord}\big((1,2,3)\big)=3.

Passo 3

Calcular a ordem da permutação à direita, que é o produto de ciclos disjuntos.
  • Se duas permutações são disjuntas (atuam em conjuntos de elementos disjuntos), então a ordem do produto é o mínimo comum múltiplo dos comprimentos desses ciclos.
  • Aqui temos uma transposição (1,3) de comprimento 2 e um 3-ciclo (5,7,8) de comprimento 3. Como são disjuntos, a ordem do produto é
\mathrm{lcm}(2,3).
  • Calcular \mathrm{lcm}(2,3): o mínimo comum múltiplo de 2 e 3 é 6. Logo
\text{ord}\big((1,3)(5,7,8)\big)=6.

Passo 4

Mostrar que conjugação preserva a ordem (propriedade geral em qualquer grupo).
  • Para g em um grupo e qualquer a vale a identidade
\big(a^{-1} g a\big)^k = a^{-1} g^k a
para todo inteiro k\ge 1. Isto se vê expandindo a potência e recolhendo fatores.
  • Se g^m=\mathrm{id} então, substituindo na igualdade acima com k=m,
\big(a^{-1} g a\big)^m = a^{-1} g^m a = a^{-1} \mathrm{id}\, a = \mathrm{id},
ou seja, a ordem de a^{-1} g a divide m. Pelo mesmo raciocínio aplicado a (a^{-1} g a)^{-1}=a^{-1} g^{-1} a obtemos a divisibilidade recíproca, e portanto a ordem de a^{-1} g a é exatamente a ordem de g.
  • Conclusão: conjugação não muda a ordem do elemento.

Passo 5

Aplicar a propriedade ao problema e obter a contradição.
  • Se existisse a tal que a^{-1}(1,2,3)a=(1,3)(5,7,8), então as duas permutações teriam a mesma ordem por invariância da ordem por conjugação.
  • Mas da Passo 2 temos \text{ord}\big((1,2,3)\big)=3 e da Passo 3 temos \text{ord}\big((1,3)(5,7,8)\big)=6.
  • Como 3\neq 6, isso é contraditório. Logo não pode existir tal a.

Resposta

Não existe a tal que a^{-1}(1,2,3)a=(1,3)(5,7,8).

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