- Demonstrar que não existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a permutação
e a permutação
e pede para demonstrar que não existe
(no grupo simétrico apropriado) tal que
Informações relevantes fornecidas:
- A esquerda está uma
-ciclo: . - A direita é o produto de uma transposição e de um
-ciclo disjuntos: e .
A tarefa é provar que nenhuma conjugação portransforma nessa permutação da direita.
Passo 2
Explicar o conceito que vou usar: ordem de uma permutação.
- A ordem de uma permutação
é o menor inteiro positivo tal que é a identidade. - Para um
-ciclo, a ordem é . Portanto a ordem de é , porque e potências menores não dão identidade.
Vou calcular explicitamente a ordem da permutação à esquerda. Como já disse, para a
-ciclo
vale:
Passo 3
Calcular a ordem da permutação à direita, que é o produto de ciclos disjuntos.
- Se duas permutações são disjuntas (atuam em conjuntos de elementos disjuntos), então a ordem do produto é o mínimo comum múltiplo dos comprimentos desses ciclos.
- Aqui temos uma transposição
de comprimento e um -ciclo de comprimento . Como são disjuntos, a ordem do produto é
- Calcular
: o mínimo comum múltiplo de e é . Logo
Passo 4
Mostrar que conjugação preserva a ordem (propriedade geral em qualquer grupo).
- Para
em um grupo e qualquer vale a identidade
para todo inteiro
. Isto se vê expandindo a potência e recolhendo fatores.
- Se
então, substituindo na igualdade acima com ,
ou seja, a ordem de
divide
. Pelo mesmo raciocínio aplicado a
obtemos a divisibilidade recíproca, e portanto a ordem de
é exatamente a ordem de
.
- Conclusão: conjugação não muda a ordem do elemento.
Passo 5
Aplicar a propriedade ao problema e obter a contradição.
- Se existisse
tal que , então as duas permutações teriam a mesma ordem por invariância da ordem por conjugação. - Mas da Passo 2 temos
e da Passo 3 temos . - Como
, isso é contraditório. Logo não pode existir tal .
Resposta
Não existe
tal que
.