Demonstrar que no Problema 14 existem infinitos exemplos satisfazendo as condições dadas que não são grupos.
Passo 1
O enunciado que foi enviado é apenas: “Demonstrar que no Problema 14 existem infinitos exemplos satisfazendo as condições dadas que não são grupos.”
Não foi fornecido o texto do Problema 14 nem as “condições dadas” a que o enunciado se refere. Portanto, não há como saber com certeza quais propriedades a estrutura deve satisfazer (por exemplo: se precisa ter identidade, se precisa ser associativa, que tipo de fechamento, se há exigência de comutatividade, se as estruturas são finitas, etc.).
Não foi fornecido o texto do Problema 14 nem as “condições dadas” a que o enunciado se refere. Portanto, não há como saber com certeza quais propriedades a estrutura deve satisfazer (por exemplo: se precisa ter identidade, se precisa ser associativa, que tipo de fechamento, se há exigência de comutatividade, se as estruturas são finitas, etc.).
Dados que estão faltando e que são necessários para uma demonstração específica:
- O enunciado completo do Problema 14 (todas as hipóteses e o que significa “satisfazer as condições dadas”).
- Eventuais exemplos ou restrições adicionais do problema (ex.: somente estruturas finitas, somente operações binárias em conjuntos de certo tipo, presença de identidade obrigatória, etc.).
Sem essas informações não é possível demonstrar algo que dependa exatamente das condições do Problema 14, porque não posso adivinhar as hipóteses do problema.
Passo 2
Apesar de não poder resolver especificamente o Problema 14 sem o texto, vou dar uma explicação didática e uma construção simples e completamente explícita que serve como modelo-padrão para o tipo de afirmação “existem infinitos exemplos que satisfazem certas propriedades mas não são grupos”. Assim, se as “condições dadas” do Problema 14 forem algo do tipo “ser um conjunto com operação binária associativa e possuir elemento neutro” (ou seja, as hipóteses típicas que aparecem em questões sobre monóides/semigrupos), este modelo resolve diretamente; se o Problema 14 tiver hipóteses diferentes, o modelo abaixo pode dar ideia de como construir famílias infinitas de contra-exemplos. Vou explicar passo a passo as definições e depois apresentar a construção e a prova de que ela produz infinitos exemplos que não são grupos.
Primeiro, as definições essenciais (explicadas de forma direta e com exemplos):
-
Definição de operação binária: uma operação binária em um conjunto
é uma regra que a cada par associa um elemento . “Fechamento” significa exatamente isso: o resultado fica em . -
Associatividade: a operação
é associativa se, para todo ,
Isto permite omitir parênteses em produtos de vários fatores.
- Elemento neutro (ou identidade): um elemento
é identidade se, para todo ,
- Inverso: dado
e um elemento identidade , um elemento é inverso de se
- Grupo: um conjunto
com uma operação binária é grupo se a operação é associativa, existe um elemento identidade e todo elemento de tem inverso (além, claro, da propriedade de fechamento implícita na operação).
Observação didática rápida: para mostrar que uma estrutura não é grupo basta encontrar um elemento que não tenha inverso (assumindo que a estrutura tem identidade e associatividade). Outra maneira é mostrar falta de associatividade ou falta de identidade, se a definição do problema exigir essas propriedades.
Passo 3
Agora uma construção explícita simples que gera infinitos exemplos de estruturas com identidade e associatividade que, porém, não são grupos. Esta construção é muito didática e fácil de verificar na prova.
Para cada inteiro
defina o conjunto
e defina a operação
em
por
Vou mostrar que para cada
a estrutura
tem as propriedades listadas abaixo e que, portanto, fornece um exemplo não-grupo; como
pode ser qualquer inteiro
, obtemos infinitos exemplos distintos.
Verificações passo a passo:
-
Fechamento: para todo
tem-se porque é um dos elementos ou e ambos estão em . Logo a operação é fechada. -
Associatividade: a operação
é associativa. Para quaisquer ,
Em linguagem de igualdade de parênteses,
Esta propriedade é bem conhecida e fácil de ver: o máximo de três números independe da ordem em que se toma os máximos parciais.
- Elemento neutro: o elemento
é identidade para , porque para todo vale
Logo
é a identidade.
Até aqui vemos que
é um monóide (estrutura associativa com identidade).
- Não existência de inversos (portanto não é grupo): para
escolha qualquer com . Suponha, para contradição, que exista tal que seja inverso de . Então deveríamos ter
Mas
. Como
,
, então
. Logo não existe
com
. Portanto nenhum
tem inverso. Assim, a estrutura não é grupo (já que não satisfaz a exigência de inversos para todos os elementos).
Conclusão do passo: para cada
a estrutura
é um exemplo que satisfaz fechamento, associatividade e possui identidade, mas não é grupo. Como existem infinitos inteiros
, obtemos infinitos exemplos distintos.
Passo 4
Observações finais e variações (úteis para a prova e para criar outros exemplos rapidamente):
-
Outra família muito simples é
, o conjunto dos inteiros não-negativos com a soma usual: é associativa, tem identidade , mas a maioria dos elementos não tem inverso (exceto ). Assim, é um exemplo (único, infinito) de monóide não grupo; para gerar infinitos exemplos finitos, pode-se usar os conjuntos com operação como fiz acima. -
Se o Problema 14 impõe condições diferentes (por exemplo, exige comutatividade, finitude, idempotência, existência de elementos com certas propriedades), é comum adaptar a construção escolhendo operações conhecidas (máximo/minimo, máximo com elemento adicional, produtos com zero adicionado, semigrupos de matrizes triangulares estritamente superiores, etc.) para respeitar essas condições e, ao mesmo tempo, quebrar a existência de inversos. Se o problema pedir estruturas sem identidade, dá para ajustar removendo o
ou tomando outra operação. -
Moral prática para a prova: quando o professor pede “mostrar que existem infinitos exemplos que satisfazem X mas não são grupos”, tente identificar a propriedade X (por exemplo: associativa + identidade) e então construa uma família paramétrica onde um parâmetro natural
produz um exemplo para cada . Funções como , operações sobre , ou conjuntos com um zero absorvente são fontes ricas e fáceis de verificar.
Resposta
Não é possível demonstrar especificamente para o “Problema 14” porque o enunciado do Problema 14 (as condições precisas) não foi fornecido.