(b) (1,5 Ponto) Resolva o sistema linear
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+2 x_{3}= & 8 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}= & 1 \\\\ 3 x_{1}-7 x_{2}+4 x_{3}= & 10 \end{aligned}
usando a regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+2 x_{3}= &\\\ 8 \\\\ - x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}= &\\\ 1 \\\\ 3 x_{1}-7 x_{2}+4 x_{3}= &\\\ 10 \end{aligned}
ou seja, encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem as três equações simultaneamente. As informações dadas são exatamente os coeficientes das variáveis e os termos do lado direito das equações (os números 8,1,10).

Passo 2

O enunciado exige usar a regra de Cramer, então vamos aplicá-la. Vou explicar a regra de forma didática:
  • Seja A a matriz dos coeficientes do sistema e \Delta=\det(A) o determinante dessa matriz.
  • Seja b o vetor dos termos independentes (lado direito). Para cada variável x_{j} constrói‑se a matriz A_{j} obtida substituindo a j-ésima coluna de A por b.
  • Então, pela regra de Cramer,
x_{j}=\frac{\det(A_{j})}{\det(A)}\quad\text{para }j=1,2,3.
  • Para matrizes 3\times3 usaremos a “regra de Sarrus” (fácil de aplicar): se
A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\[4pt] a_{21}&a_{22}&a_{23}\\[4pt] a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix},
então
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Vou aplicar essa fórmula em cada determinante necessário.]

Passo 3

Escrevo a matriz dos coeficientes A e calculo \Delta=\det(A):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & -2 & 3\\[4pt] 3 & -7 & 4 \end{pmatrix}.
Usando a fórmula:
\begin{aligned} \Delta &= 1\cdot(-2)\cdot4 \;+\; 1\cdot3\cdot3 \;+\; 2\cdot(-1)\cdot(-7)\\[4pt] &\quad -\bigl(2\cdot(-2)\cdot3 \;+\; 1\cdot3\cdot(-7) \;+\; 1\cdot(-1)\cdot4\bigr). \end{aligned}
Agora calculo cada produto e soma com calma:
1\cdot(-2)\cdot4 = -8,\quad 1\cdot3\cdot3 = 9,\quad 2\cdot(-1)\cdot(-7)=14,
logo a soma dos três primeiros termos é
-8+9+14 = 15.
Os termos a serem subtraídos são
2\cdot(-2)\cdot3 = -12,\quad 1\cdot3\cdot(-7) = -21,\quad 1\cdot(-1)\cdot4 = -4,
e a soma destes é
-12 + (-21) + (-4) = -37.
Portanto
\Delta = 15 - (-37) = 15 + 37 = 52.
Concluímos que \Delta=52. Como \Delta\neq 0, o sistema tem solução única e a regra de Cramer é aplicável.]

Passo 4

Agora calculo \Delta_{1}=\det(A_{1}), onde A_{1} é a matriz obtida substituindo a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes b=(8,1,10)^{T}:
A_{1}=\begin{pmatrix} 8 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 3\\[4pt] 10 & -7 & 4 \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} \Delta_{1} &= 8\cdot(-2)\cdot4 \;+\; 1\cdot3\cdot10 \;+\; 2\cdot1\cdot(-7)\\[4pt] &\quad -\bigl(2\cdot(-2)\cdot10 \;+\; 8\cdot3\cdot(-7) \;+\; 1\cdot1\cdot4\bigr). \end{aligned}
Calculo os produtos:
8\cdot(-2)\cdot4 = -64,\quad 1\cdot3\cdot10=30,\quad 2\cdot1\cdot(-7)=-14,
soma dos positivos (no formato da fórmula) = -64+30-14 = -48.
Os termos a subtrair:
2\cdot(-2)\cdot10 = -40,\quad 8\cdot3\cdot(-7) = -168,\quad 1\cdot1\cdot4 = 4,
soma = -40 + (-168) + 4 = -204.
Portanto
\Delta_{1} = -48 - (-204) = -48 + 204 = 156.]

Passo 5

Calculo \Delta_{2}=\det(A_{2}), substituindo a segunda coluna por b:
A_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 8 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 10 & 4 \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} \Delta_{2} &= 1\cdot1\cdot4 \;+\; 8\cdot3\cdot3 \;+\; 2\cdot(-1)\cdot10\\[4pt] &\quad -\bigl(2\cdot1\cdot3 \;+\; 1\cdot3\cdot10 \;+\; 8\cdot(-1)\cdot4\bigr). \end{aligned}
Produtos:
1\cdot1\cdot4 = 4,\quad 8\cdot3\cdot3 = 72,\quad 2\cdot(-1)\cdot10 = -20,
soma = 4+72-20 = 56.
Termos a subtrair:
2\cdot1\cdot3 = 6,\quad 1\cdot3\cdot10 = 30,\quad 8\cdot(-1)\cdot4 = -32,
soma = 6+30-32 = 4.
Logo
\Delta_{2} = 56 - 4 = 52.]

Passo 6

Calculo \Delta_{3}=\det(A_{3}), substituindo a terceira coluna por b:
A_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 8\\[4pt] -1 & -2 & 1\\[4pt] 3 & -7 & 10 \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} \Delta_{3} &= 1\cdot(-2)\cdot10 \;+\; 1\cdot1\cdot3 \;+\; 8\cdot(-1)\cdot(-7)\\[4pt] &\quad -\bigl(8\cdot(-2)\cdot3 \;+\; 1\cdot1\cdot(-7) \;+\; 1\cdot(-1)\cdot10\bigr). \end{aligned}
Produtos:
1\cdot(-2)\cdot10 = -20,\quad 1\cdot1\cdot3 = 3,\quad 8\cdot(-1)\cdot(-7) = 56,
soma = -20+3+56 = 39.
Termos a subtrair:
8\cdot(-2)\cdot3 = -48,\quad 1\cdot1\cdot(-7) = -7,\quad 1\cdot(-1)\cdot10 = -10,
soma = -48) + (-7) + (-10) = -65.
Assim
\Delta_{3} = 39 - (-65) = 39 + 65 = 104.]

Passo 7

Agora aplico a regra de Cramer para obter cada variável:
x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{156}{52}=3,
x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{52}{52}=1,
x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{104}{52}=2.
Pode-se verificar substituindo (x_{1},x_{2},x_{3})=(3,1,2) nas equações originais que as igualdades são satisfeitas (operação que fica como exercício de conferência rápido).

Resposta

x_{1}=3
x_{2}=1
x_{3}=2

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