6- Sejam A o conjunto dos inteiros pares e B o conjunto dos inteiros ímpares. Mostre que a função f: A \rightarrow B definida por f(x)=x+3 é uma bijeção.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A é o conjunto dos inteiros pares.
  • B é o conjunto dos inteiros ímpares.
  • A função f: A \rightarrow B é dada por f(x)=x+3.
O que o exercício pede:
  • Mostrar que f é uma bijeção (ou seja, mostrar que é injetora e sobrejetora).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever formalmente o que são os conjuntos A e B usando uma descrição padrão em termos de inteiros:
  • Um inteiro par pode ser escrito como x=2k para algum k\in\mathbb{Z}. Portanto
A=\{\,2k \mid k\in\mathbb{Z}\,\}.
  • Um inteiro ímpar pode ser escrito como y=2m+1 para algum m\in\mathbb{Z}. Portanto
B=\{\,2m+1 \mid m\in\mathbb{Z}\,\}.
Lembrete das definições (explicadas como se estivesse na prova):
  • A função f é injetora se sempre que f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2.
  • A função f é sobrejetora se para todo y\in B existe x\in A tal que f(x)=y.
Vamos provar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 3

Prova de injetividade.
Tomemos x_1,x_2\in A tais que f(x_1)=f(x_2). Então, por definição de f,
x_1+3 = x_2+3.
Subtraindo 3 dos dois lados obtemos
x_1 = x_2.
Como partimos de uma igualdade de imagens e chegamos à igualdade dos originais, concluímos que f é injetora.
Comentário didático: aqui usamos o fato simples de que a função x\mapsto x+3 é uma tradução no conjunto dos inteiros; traduções são injecções porque adicionar o mesmo número a duas quantidades e obter igualdade implica que as quantidades originais eram iguais.

Passo 4

Prova de sobrejetividade.
Queremos mostrar: dado qualquer y\in B (ou seja, qualquer inteiro ímpar), existe x\in A tal que f(x)=y.
Seja y\in B. Então existe m\in\mathbb{Z} com
y = 2m+1.
Queremos encontrar x par tal que x+3=y. Resolva para x:
x = y-3.
Substituindo y=2m+1,
x = (2m+1)-3 = 2m-2 = 2(m-1).
Como m-1\in\mathbb{Z}, segue que x=2(m-1) é da forma 2k com k\in\mathbb{Z}, isto é, x\in A. Além disso,
f(x)=x+3=(y-3)+3=y,
logo x é realmente um pré-imagem de y. Como y foi um elemento arbitrário de B, mostramos que para todo y\in B existe x\in A com f(x)=y. Portanto f é sobrejetora.
Comentário didático: uma maneira rápida de ver por que isso funciona é notar que um número ímpar menos um número ímpar (aqui 3) dá um número par; mais formalmente escrevemos y=2m+1 e vemos que y-3 torna-se 2(m-1).

Passo 5

Construção e verificação da inversa (opcional, mas útil para a prova).
A partir da prova da sobrejetividade vemos explicitamente o candidato à inversa: f^{-1}:B\to A dada por
f^{-1}(y)=y-3.
Verificações rápidas:
  • Se x\in A então f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x+3)=(x+3)-3=x.
  • Se y\in B então f(f^{-1}(y))=f(y-3)=(y-3)+3=y.
Essas duas igualdades mostram que f^{-1} é de fato a inversa de f, o que equivalem a dizer que f é bijetora.

Passo 6

Conclusão final e exemplo para fixar a ideia.
Concluímos que f é injetora e sobrejetora, logo é bijeção. Um exemplo concreto para visualizar: f(0)=3 (par 0 vai para ímpar 3), f(2)=5, f(-4)=-1. Isso mostra como cada par tem exatamente um ímpar correspondente e vice-versa pela inversa y\mapsto y-3.

Resposta

A função f:A\to B definida por f(x)=x+3 é bijetora.

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