6- Sejam
o conjunto dos inteiros pares e B o conjunto dos inteiros ímpares. Mostre que a função
definida por
é uma bijeção.
Passo 1
O enunciado dá:
-
é o conjunto dos inteiros pares. -
é o conjunto dos inteiros ímpares. - A função
é dada por .
O que o exercício pede:
- Mostrar que
é uma bijeção (ou seja, mostrar que é injetora e sobrejetora).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever formalmente o que são os conjuntos
e
usando uma descrição padrão em termos de inteiros:
- Um inteiro par pode ser escrito como
para algum . Portanto
- Um inteiro ímpar pode ser escrito como
para algum . Portanto
Lembrete das definições (explicadas como se estivesse na prova):
- A função
é injetora se sempre que então . - A função
é sobrejetora se para todo existe tal que .
Vamos provar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 3
Prova de injetividade.
Tomemos
tais que
. Então, por definição de
,
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Como partimos de uma igualdade de imagens e chegamos à igualdade dos originais, concluímos que
é injetora.
Comentário didático: aqui usamos o fato simples de que a função
é uma tradução no conjunto dos inteiros; traduções são injecções porque adicionar o mesmo número a duas quantidades e obter igualdade implica que as quantidades originais eram iguais.
Passo 4
Prova de sobrejetividade.
Queremos mostrar: dado qualquer
(ou seja, qualquer inteiro ímpar), existe
tal que
.
Seja
. Então existe
com
Queremos encontrar
par tal que
. Resolva para
:
Substituindo
,
Como
, segue que
é da forma
com
, isto é,
. Além disso,
logo
é realmente um pré-imagem de
. Como
foi um elemento arbitrário de
, mostramos que para todo
existe
com
. Portanto
é sobrejetora.
Comentário didático: uma maneira rápida de ver por que isso funciona é notar que um número ímpar menos um número ímpar (aqui
) dá um número par; mais formalmente escrevemos
e vemos que
torna-se
.
Passo 5
Construção e verificação da inversa (opcional, mas útil para a prova).
A partir da prova da sobrejetividade vemos explicitamente o candidato à inversa:
dada por
Verificações rápidas:
- Se
então . - Se
então .
Essas duas igualdades mostram que
é de fato a inversa de
, o que equivalem a dizer que
é bijetora.
Passo 6
Conclusão final e exemplo para fixar a ideia.
Concluímos que
é injetora e sobrejetora, logo é bijeção. Um exemplo concreto para visualizar:
(par
vai para ímpar
),
,
. Isso mostra como cada par tem exatamente um ímpar correspondente e vice-versa pela inversa
.
Resposta
A função
definida por
é bijetora.