Demonstrar, para um sistema de coordenadas cartesianas, a igualdade: \quad \underline{\nabla} \cdot s \underline{\underline{\tau}}=\underline{\nabla} s \cdot \underline{\underline{\tau}}+s \underline{\nabla} \cdot \underline{\underline{\tau}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em coordenadas cartesianas, que para um escalar s e um tensor de segunda ordem \underline{\underline{\tau}} vale a regra do produto
\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr) = \underline{\nabla}s\;\cdot\;\underline{\underline{\tau}} + s\;\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}.
Vamos usar notação de índices e a regra de derivada de produto escalar.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, a divergência de um tensor de segunda ordem \underline{\underline{T}} define um vetor cujas componentes são
\bigl(\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{T}}\bigr)_{i} =\frac{\partial T_{ji}}{\partial x_{j}}.
Aplicamos isso com T_{ji}=s\,\tau_{ji}.

Passo 3

Escrevendo a divergência do produto s\,\tau no componente i:
\bigl[\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr)\bigr]_{i} =\frac{\partial}{\partial x_{j}}\bigl(s\,\tau_{ji}\bigr).
Pela regra do produto de derivadas,
\frac{\partial}{\partial x_{j}}\bigl(s\,\tau_{ji}\bigr) =\frac{\partial s}{\partial x_{j}}\,\tau_{ji} \;+\;s\,\frac{\partial \tau_{ji}}{\partial x_{j}}.

Passo 4

O primeiro termo tem a forma
\frac{\partial s}{\partial x_{j}}\,\tau_{ji} = \bigl(\underline{\nabla}s\bigr)_{j}\,\tau_{ji}
e corresponde à componente i do vetor \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}.
O segundo termo é
s\,\frac{\partial \tau_{ji}}{\partial x_{j}} = s\;\bigl(\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}\bigr)_{i}.

Passo 5

Somando os dois termos, para todo índice i,
\bigl[\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr)\bigr]_{i} = \bigl[\underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}\bigr]_{i} + \bigl[s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}\bigr]_{i},
o que em notação vetorial dá exatamente
\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr) = \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}} + s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}.

Resposta

\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr) = \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}} + s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}.

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