Se \underline{P} é o vetor posição instantânea de uma partícula:
a) Calcular as expressões da velocidade e da aceleração da partícula em coordenadas cartesianas.
b) Mostrar que em coordenadas cilíndricas:
\begin{aligned} & \underline{v}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \underline{P}=r^{\prime} \underline{\delta}_{\underline{r}}+r \theta^{\prime} \underline{\delta}_{\theta}+z^{\prime} \underline{\delta}_{z} \\\ & \underline{a}=\left(r^{\prime \prime}-r \theta^{\prime 2}\right) \delta_{\underline{r}}+\left(r \theta^{\prime \prime}+2 r^{\prime} \theta^{\prime}\right) \delta_{\theta}+z^{\prime \prime} \delta_{z} \end{aligned}
onde os símbolos linha e duas linhas indicam, respectivamente, as derivadas primeira e segunda com relação ao tempo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro (a), calcular em coordenadas cartesianas as expressões de velocidade \underline{v} e aceleração \underline{a} de uma partícula cuja posição instantânea é
\underline{P} = x(t)\,\hat{\imath} + y(t)\,\hat{\jmath} + z(t)\,\hat{k}.
Depois (b), mostrar que, ao usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com
\underline{P} = r\,\hat{\delta}_r + z\,\hat{\delta}_z,
chegamos às fórmulas dadas para \underline{v} e \underline{a}. Vamos usar derivação de vetores e saber que
\hat{\delta}_r' = \theta'\,\hat{\delta}_\theta \quad\text{e}\quad \hat{\delta}_\theta' = -\theta'\,\hat{\delta}_r.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas definimos
\underline{P} = x(t)\,\hat{\imath} + y(t)\,\hat{\jmath} + z(t)\,\hat{k}.
Derivando em relação a t componente a componente, obtemos a velocidade
\underline{v} = \frac{d\underline{P}}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat{\imath} + \frac{dy}{dt}\,\hat{\jmath} + \frac{dz}{dt}\,\hat{k}.

Passo 3

Para a aceleração derivamos \underline{v} novamente em t:
\underline{a} = \frac{d\underline{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\,\hat{\imath} + \frac{d^2y}{dt^2}\,\hat{\jmath} + \frac{d^2z}{dt^2}\,\hat{k}.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
e vetores unitários
\hat{\delta}_r = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath}, \quad \hat{\delta}_\theta = -\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath}.
Sabemos que ao derivar no tempo
\hat{\delta}_r' = \theta'\,\hat{\delta}_\theta, \quad \hat{\delta}_\theta' = -\theta'\,\hat{\delta}_r, \quad \hat{\delta}_z' = \underline{0}.

Passo 5

Escrevendo
\underline{P} = r\,\hat{\delta}_r + z\,\hat{\delta}_z,
temos
\underline{v} = \frac{d\underline{P}}{dt} = r'\,\hat{\delta}_r + r\,\hat{\delta}_r' + z'\,\hat{\delta}_z = r'\,\hat{\delta}_r + r\,\theta'\,\hat{\delta}_\theta + z'\,\hat{\delta}_z.

Passo 6

Agora derivamos \underline{v} para achar \underline{a}. Usando produto de função escalar por vetor:
\underline{a} = \frac{d}{dt}\bigl(r'\,\hat{\delta}_r\bigr) + \frac{d}{dt}\bigl(r\,\theta'\,\hat{\delta}_\theta\bigr) + \frac{d}{dt}\bigl(z'\,\hat{\delta}_z\bigr).
Calculamos termo a termo:
  1. \displaystyle \frac{d}{dt}(r'\,\hat{\delta}_r) = r''\,\hat{\delta}_r + r'\,\hat{\delta}_r' = r''\,\hat{\delta}_r + r'\,\theta'\,\hat{\delta}_\theta. 2. \displaystyle \frac{d}{dt}(r\,\theta'\,\hat{\delta}_\theta) = (r\,\theta')'\,\hat{\delta}_\theta + r\,\theta'\,\hat{\delta}_\theta' = (r'\theta' + r\,\theta'')\,\hat{\delta}_\theta - r\,\theta'^2\,\hat{\delta}_r. 3. \displaystyle \frac{d}{dt}(z'\,\hat{\delta}_z) = z''\,\hat{\delta}_z. Somando tudo e agrupando em \hat{\delta}_r,\hat{\delta}_\theta,\hat{\delta}_z, vem
\underline{a} = \bigl(r'' - r\,\theta'^2\bigr)\,\hat{\delta}_r + \bigl(r\,\theta'' + 2\,r'\,\theta'\bigr)\,\hat{\delta}_\theta + z''\,\hat{\delta}_z.

Resposta

a) Em coordenadas cartesianas:
\underline{v} = x'\,\hat{\imath} + y'\,\hat{\jmath} + z'\,\hat{k}, \quad \underline{a} = x''\,\hat{\imath} + y''\,\hat{\jmath} + z''\,\hat{k}.
b) Em coordenadas cilíndricas:
\underline{v} = r'\,\hat{\delta}_r + r\,\theta'\,\hat{\delta}_\theta + z'\,\hat{\delta}_z, \quad \underline{a} = \bigl(r'' - r\,\theta'^2\bigr)\,\hat{\delta}_r + \bigl(r\,\theta'' + 2\,r'\,\theta'\bigr)\,\hat{\delta}_\theta + z''\,\hat{\delta}_z.

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