1. Qual a relação entre correntes de fase e de linha em Y ? E em △ ?

Passo 1

O que a questão pede e o que temos de informação (explicitando o pedido):
  • Pergunta 1: Qual a relação entre correntes de fase e correntes de linha em conexão Y (estrela)?
  • Pergunta 2: Qual a relação entre correntes de fase e correntes de linha em conexão △ (triângulo)?
    Não há outros dados numéricos no enunciado. Vamos trabalhar com definições gerais e com o caso equilibrado (sistema trifásico simétrico), que é o caso que normalmente aparece em prova.

Passo 2

Definições e notação (explicando o que cada símbolo significa):
  • Vou chamar de \,I_{F}\, a corrente de fase (corrente que circula em cada impedância de fase do carregamento). Cada fase tem sua corrente de fase: \,I_{A},\,I_{B},\,I_{C}\,.
  • Vou chamar de \,I_{L}\, a corrente de linha (corrente que circula no condutor de linha que liga a fonte à carga). Cada linha tem sua corrente de linha: \,I_{a},\,I_{b},\,I_{c}\,.
  • Em análise de circuitos trifásicos usamos fasores (representação complexa das grandezas senoidais). Um fasor é escrito como magnitude e ângulo: por exemplo \,I_{A}=I_{F}\angle 0^\circ\, significa corrente de fase na fase A com magnitude \,I_{F}\, e referência de fase 0^\circ.
Vou assumir que o sistema está balanceado (cargas iguais em cada fase), porque daí é fácil obter relações claras e é o que costuma cair em prova. Se o sistema for desequilibrado, as relações gerais precisam de soma vetorial caso a caso.

Passo 3

Relação em Y (estrela) — explicação física e demonstração simples:
  • Em ligação Y cada impedância de fase liga um ponto de linha ao ponto neutro. Portanto a corrente que passa por cada impedância de fase vai diretamente no condutor correspondente até a fonte. Ou seja, não há caminho extra que some ou subtraia correntes: a corrente na fase é exatamente a corrente na linha correspondente.
  • Em símbolos:
I_{a}=I_{A},\qquad I_{b}=I_{B},\qquad I_{c}=I_{C}.
  • Comentário intuitivo: imagine a impedância de fase ligada entre o condutor \,a\, e o neutro. A corrente que atravessa essa impedância tem de passar pelo condutor \,a\, — não existe outro ramo que force combinação vetorial. Por isso corrente de linha = corrente de fase em Y.
  • Observação para prova: se pedirem “corrente de linha em Y”, basta calcular a corrente da impedância de fase.

Passo 4

Relação em △ (triângulo) — entendimento inicial:
  • Em ligação △ as três impedâncias de fase estão conectadas em anel entre as três linhas. Cada impedância fica entre duas linhas (por exemplo entre linhas a e b existe a impedância da fase ab). Assim a corrente em cada linha é a soma vetorial (diferença de fasores) das correntes que saem e entram no nó da linha.
  • Em palavras: a corrente de linha não é igual à corrente de fase; é combinação vetorial de duas correntes de fase adjacentes.

Passo 5

Demonstração vetorial (passo a passo) para o caso equilibrado — mostrar onde aparece o fator \sqrt{3}:
  • Considere as correntes de fase (nas impedâncias do triângulo) de mesma magnitude \,I_{F}\, e defasadas de 120^\circ entre si. Definimos as correntes de fase como fasores balanceados:
I_{ab}=I_{F}\angle 0^\circ,\qquad I_{bc}=I_{F}\angle -120^\circ,\qquad I_{ca}=I_{F}\angle 120^\circ.
Aqui I_{ab} é a corrente que circula na impedância entre as linhas a e b, etc. (a convenção de sinais só altera o sinal final do ângulo, o que interessa é a relação de magnitudes e diferença de 30^\circ).
  • A corrente na linha a ( I_{a}) é a diferença entre a corrente na rama ab que entra em a e a corrente na rama ca que sai por a. Em fasores:
I_{a}=I_{ab}-I_{ca}.
  • Substituindo os fasores escolhidos:
I_{a}=I_{F}\angle 0^\circ - I_{F}\angle 120^\circ = I_{F}\bigl(1 - \cos 120^\circ - j\sin 120^\circ\bigr).
  • Valores trigonométricos: \cos 120^\circ=-\tfrac{1}{2} e \sin 120^\circ=+\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
I_{a}=I_{F}\Bigl(1 - \bigl(-\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr) =I_{F}\Bigl(1+\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =I_{F}\Bigl(\tfrac{3}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
  • Agora calculamos magnitude e argumento desse fasor. A magnitude é
|I_{a}|=I_{F}\sqrt{\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2} =I_{F}\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}} =I_{F}\sqrt{\tfrac{12}{4}} =I_{F}\sqrt{3}.
  • O ângulo (argumento) é
\angle I_{a}=\arctan\!\Bigl(\frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\Bigr)=\arctan\!\Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{3}\Bigr)=-30^\circ.
  • Portanto, para o sistema trifásico equilibrado em ligação △:
I_{L}=\sqrt{3}\;I_{F}\quad\text{(em magnitude)}
e o fasor de I_{L} está defasado em \mp 30^\circ em relação ao fasor de I_{F}, dependendo da definição de referência de fase e do sentido de corrente adotado. Numa escolha típica:
I_{a}=\sqrt{3}\,I_{F}\angle -30^\circ,\qquad I_{b}=\sqrt{3}\,I_{F}\angle -150^\circ,\qquad I_{c}=\sqrt{3}\,I_{F}\angle 90^\circ.

Passo 6

Resumo intuitivo e dica de prova (como decorar e quando usar):
  • Em Y: cada fase liga linha-neutro → corrente de linha = corrente de fase. Fórmula direta:
I_{L}=I_{F}\quad(\text{Y}).
  • Em △: cada ramo fica entre duas linhas → corrente de linha é soma vetorial de duas correntes de ramo → no caso equilibrado a relação simples é:
|I_{L}|=\sqrt{3}\,|I_{F}|\quad\text{e}\quad \text{ângulo entre }I_{L}\text{ e }I_{F}\text{ é }30^\circ.âé
  • Dica prática: se pedirem apenas magnitudes no caso simétrico, memorize que em △ a corrente de linha é \sqrt{3} vezes a corrente de fase; em Y ambas são iguais. Se a prova pede fasores, lembre-se do deslocamento de \,30^\circ\, (sinal depende da convenção).

Resposta

Em Y: I_{L}=I_{F}.
Em △: |I_{L}|=\sqrt{3}\,|I_{F}| e o fasor I_{L} está defasado de \pm 30^\circ em relação ao fasor I_{F} (convenção de sinais depende do referencial).

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