Consider a physical system cujo estado e dois observáveis A e B são expressos da seguinte forma:
|phi(t)rang<==(c 1 / 6 0 4 / 6 ), A=raiz22(ccc 2 & 0 & 0 0 & 1 & i 0 & -i & 1 ), B=(ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0 )
  • Consider now the inverse situation: B is measured first and then, immediately afterwards, A is measured. Find the probability of obtaining a value of 1 for B and a value 0 for A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema físico com um estado quântico dado por um vetor |phi(t)rang<= e dois observáveis, A e B, representados por matrizes. A gente precisa calcular a probabilidade de medir o valor 1 para B primeiro e, logo em seguida, medir o valor 0 para A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a medições e projeções de estados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa medir um observável. Quando medimos um observável num sistema quântico, o estado do sistema colapsa para um dos autovetores do observável, e a probabilidade de cada resultado é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente do estado inicial nesse autovetor.

Passo 3

Vamos começar medindo o observável B. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de B. Olhando a matriz de B:
B = 1 & 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0
Notamos que B tem diagonal principal com elementos (1, 0, 0), mas há elementos imaginários fora da diagonal.

Passo 4

Calculando os autovalores de B, vemos que eles são 1, 1 e -1. Assim, os possíveis resultados da medição de B são 1 e -1. Mas o exercício pede a probabilidade de medir 1, então vamos focar nisso.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor 1 de B. Resolvendo (B - I)v = 0, encontramos o subespaço dos estados para os quais B=1. Vamos supor que o autovetor correspondente seja |b1rang<=.

Passo 6

A probabilidade de medir 1 para B é dada por:
P(B=1) = |lang<= b1 | phi(t) rang<=|^2
Depois de medir B=1, o estado do sistema se projeta no estado |b1rang<=.

Passo 7

Agora que o sistema está no estado |b1rang<=, vamos medir A. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A e identificar aquele que corresponde ao valor 0.
Dado que A é:
A = raiz22 2 & 0 & 0 0 & 1 & i 0 & -i & 1

Passo 8

Vamos encontrar o autovalor 0 de A. Resolvendo Av = 0, encontramos o autovetor |a0rang<= correspondente. A probabilidade de medir 0 para A após ter medido B=1 é:
P(A=0 | B=1) = |lang<= a0 | b1 rang<=|^2

Passo 9

Finalmente, a probabilidade total de medir B=1 e depois A=0 é o produto das probabilidades:
P(B=1 e A=0) = P(B=1) times P(A=0 | B=1)

Resposta

A probabilidade de obter B=1 e depois A=0 é P = |lang<= a0 | b1 rang<=|^2 times |lang<= b1 | phi(t) rang<=|^2.

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