Consider a physical system cujo estado e dois observáveis e são expressos da seguinte forma:
Consider now the inverse situation: B is measured first and then, immediately afterwards, A is measured. Find the probability of obtaining a value of 1 for B and a value 0 for A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema físico com um estado quântico dado por um vetor |phi(t)rang<= e dois observáveis, A e B, representados por matrizes. A gente precisa calcular a probabilidade de medir o valor 1 para B primeiro e, logo em seguida, medir o valor 0 para A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a medições e projeções de estados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa medir um observável. Quando medimos um observável num sistema quântico, o estado do sistema colapsa para um dos autovetores do observável, e a probabilidade de cada resultado é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente do estado inicial nesse autovetor.
Passo 3
Vamos começar medindo o observável B. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de B. Olhando a matriz de B:
B = 1 & 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0
Notamos que B tem diagonal principal com elementos (1, 0, 0), mas há elementos imaginários fora da diagonal.
Passo 4
Calculando os autovalores de B, vemos que eles são 1, 1 e -1. Assim, os possíveis resultados da medição de B são 1 e -1. Mas o exercício pede a probabilidade de medir 1, então vamos focar nisso.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor 1 de B. Resolvendo (B - I)v = 0, encontramos o subespaço dos estados para os quais B=1. Vamos supor que o autovetor correspondente seja |b1rang<=.
Passo 6
A probabilidade de medir 1 para B é dada por:
P(B=1) = |lang<= b1 | phi(t) rang<=|^2
Depois de medir B=1, o estado do sistema se projeta no estado |b1rang<=.
Passo 7
Agora que o sistema está no estado |b1rang<=, vamos medir A. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A e identificar aquele que corresponde ao valor 0.
Dado que A é:
A = raiz22 2 & 0 & 0 0 & 1 & i 0 & -i & 1
Passo 8
Vamos encontrar o autovalor 0 de A. Resolvendo Av = 0, encontramos o autovetor |a0rang<= correspondente. A probabilidade de medir 0 para A após ter medido B=1 é:
P(A=0 | B=1) = |lang<= a0 | b1 rang<=|^2
Passo 9
Finalmente, a probabilidade total de medir B=1 e depois A=0 é o produto das probabilidades:
P(B=1 e A=0) = P(B=1) times P(A=0 | B=1)
Resposta
A probabilidade de obter B=1 e depois A=0 é P = |lang<= a0 | b1 rang<=|^2 times |lang<= b1 | phi(t) rang<=|^2.