Consider a physical system whose state and two observables and are expressed as follows:
Find the probability of obtaining a value of 0 for A and a value 1 for B ( A is measured first and then, immediately afterwards, B is measured).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o estado do sistema físico $ |\phi(t)\rangle $ e duas observáveis $ \hat{A} $ e $ \hat{B} $. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de obter o valor 0 para $ A $ e depois, imediatamente após, o valor 1 para $ B $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre medidas em mecânica quântica, vetores próprios e probabilidades de projeção.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores próprios (também chamados de estados próprios) da observável $ \hat{A} $ associados ao valor próprio 0. Isso porque, quando medimos $ A $ e obtemos 0, o estado do sistema colapsa para esse vetor próprio específico.
Passo 3
Vamos resolver a equação $ \hat{A} |\psi\rangle = 0 |\psi\rangle $ para encontrar o vetor próprio associado ao valor 0. Calculando:
A |psirang<= = 0 |psirang<=
Queremos encontrar $ |\psi\rangle $ tal que $ \hat{A} |\psi\rangle = 0 $. Resolvendo isso, obtemos o vetor próprio correspondente.
Passo 4
Depois de encontrar o vetor próprio $ |\psi_A\rangle $ para $ A = 0 $, calculamos a probabilidade de que, ao medir $ A $, o sistema esteja nesse estado. Isso é dado por:
|psiArang<=
Aqui, $ \langle \psi_A | \phi(t) \rangle $ é o produto interno entre o vetor próprio de $ A $ e o estado atual do sistema.
Passo 5
Agora que temos o estado colapsado $ |\psi_A\rangle $ após a medida de $ A $, vamos medir $ B $. Precisamos encontrar o vetor próprio de $ \hat{B} $ correspondente ao valor próprio 1, digamos $ |\psi_B\rangle $. A probabilidade de obter 1 para $ B $ após ter medido 0 para $ A $ é:
|psiArang<=
Resposta
Multiplicando as duas probabilidades, a probabilidade total de obter 0 para $ A $ e depois 1 para $ B $ é:
A
Após os cálculos, a probabilidade final é $ \frac{1}{9} $.