Demonstre que S=A odot(B odot C)=(A odot B) odot C.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que o produto de Hadamard (produto elemento a elemento) de matrizes é associativo, ou seja, se definirmos
S = A odot (B odot C),
então também vale
S = (A odot B) odot C
Para isso, usaremos a definição
(A odot B)ij = Aij,Bij
e raciocinaremos em cada posição (i,j).

Passo 2

Definindo S = A odot (B odot C), pelo produto de Hadamard temos para cada (i,j)
Sij = Aij,l(B odot Cr)ij

Passo 3

Usando novamente a definição de Hadamard em B odot C, obtemos
l(B odot Cr)ij = Bij,Cij,
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Sij = Aij,(Bij,Cij)

Passo 4

Como a multiplicação de escalares é associativa, temos
Aij,(Bij,Cij) = (Aij,Bij),Cij

Passo 5

Mas (A odot B)ij = Aij,Bij, então
Sij = (A odot B)ij,Cij = l((A odot B) odot Cr)ij
Como isso vale para todo par de índices (i,j), concluímos que
A odot (B odot C) = (A odot B) odot C

Resposta

A odot (B odot C) = (A odot B) odot C

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