Dada a integral:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral dada.

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma integral tripla que parece bem complicada:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx
O que isso significa? Basicamente, estamos somando os valores da função raizx^2+y^2+z^2 em todos os pontos dentro de uma esfera de raio 1 (já que os limites de integração descrevem a esfera x² + y² + z² <= 1²²²). Para resolver essa integral de forma mais fácil, vamos usar coordenadas esféricas, que são perfeitas para lidar com esferas e simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • rho : a distância do ponto até a origem.
  • theta : o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
  • phi : o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
As relações para converter de coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas são:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. Como estamos integrando sobre uma esfera de raio 1, rho vai de 0 a 1. Os ângulos theta e phi vão cobrir toda a esfera:
  • theta varia de 0 a 2pi (circumferência completa no plano xy).
  • phi varia de 0 a pi (de cima a baixo na esfera).
Além disso, a função raizx^2+y^2+z^2 simplifica para rho em coordenadas esféricas, porque:
raizx^2+y^2+z^2 = raiz(rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 + (rho cosphi)^2 = rho
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
Agora, temos:
14 integral0^2pi integral0^pi sinphi , dphi , dtheta

Passo 5

Em seguida, vamos integrar em relação a phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2
Agora, temos:
14 cdot 2 integral0^2pi dtheta = 12 integral0^2pi dtheta

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
12 cdot 2pi = pi

Resposta

O valor da integral é pi .

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