Dada a integral:
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral dada.
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma integral tripla que parece bem complicada:
O que isso significa? Basicamente, estamos somando os valores da função
em todos os pontos dentro de uma esfera de raio 1 (já que os limites de integração descrevem a esfera
). Para resolver essa integral de forma mais fácil, vamos usar coordenadas esféricas, que são perfeitas para lidar com esferas e simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano a partir do eixo . -
: o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
As relações para converter de coordenadas cartesianas
para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. Como estamos integrando sobre uma esfera de raio 1,
vai de 0 a 1. Os ângulos
e
vão cobrir toda a esfera:
-
varia de a (circumferência completa no plano ). -
varia de a (de cima a baixo na esfera).
Além disso, a função
simplifica para
em coordenadas esféricas, porque:
Então, a integral fica:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos integrar em relação a
:
Agora, temos:
Passo 6
Finalmente, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.