Demonstre os axiomas da multiplicação, para ∀ a, b, c ∈ \mathbb{Z}
Distributiva da multiplicação em relação a adição

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para todos os inteiros. Ou seja, provar que
\forall a,b,c\in\mathbb{Z},\qquad a(b+c)=ab+ac.
Informações dadas e pressupostos que vamos usar (anote, é importante): \n
  • Temos a,b,c\in\mathbb{Z}. \n
  • Vou trabalhar com a construção dos inteiros \mathbb{Z} a partir dos naturais \mathbb{N} (construção padrão): um inteiro é uma classe de equivalência de pares (p,q) com p,q\in\mathbb{N}. \n
  • Nas contas vou usar propriedades já estabelecidas para \mathbb{N}, em particular a distributiva dos naturais, associatividade e comutatividade da adição e multiplicação em \mathbb{N}. (Essas propriedades podem ser demonstradas a partir dos axiomas de Peano; aqui vou usá-las como conhecidas.)

Passo 2

Lembrando a definição concreta de \mathbb{Z} que vou usar (explico devagar porque às vezes isso dá nó na cabeça): \n
  • Representamos um inteiro por uma classe [(p,q)] onde p,q\in\mathbb{N}. A ideia intuitiva é que [(p,q)] corresponde a p-q. \n
  • A soma e o produto de classes são definidos por
[(p,q)]+[(r,s)]=[(p+r,\;q+s)]
e
[(p,q)]\cdot[(r,s)]=[(pr+qs,\;ps+qr)].
Expliquei as fórmulas: para soma juntamos as primeiras componentes e as segundas; para produto usamos a fórmula acima (ela corresponde à multiplicação de diferenças: (p-q)(r-s)=pr+qs-(ps+qr)). Essas operações são bem definidas (ou seja, independem do representante escolhido) — isso é um resultado padrão que podemos aceitar aqui.

Passo 3

Agora vamos ao núcleo da demonstração. Pegue a,b,c\in\mathbb{Z} e escolha representantes:
a=[(p,q)],\qquad b=[(r,s)],\qquad c=[(t,u)]
com p,q,r,s,t,u\in\mathbb{N}. Nosso objetivo é mostrar que
[(p,q)]\cdot\bigl([(r,s)]+[(t,u)]\bigr) = [(p,q)]\cdot[(r,s)] + [(p,q)]\cdot[(t,u)].

Passo 4

Calcule primeiro b+c usando a definição da soma:
[(r,s)]+[(t,u)]=[(r+t,\;s+u)].
Agora calcule a\cdot(b+c) usando a definição do produto:
[(p,q)]\cdot[(r+t,\;s+u)] = \bigl[(\,p(r+t)+q(s+u),\;p(s+u)+q(r+t)\,)\bigr].
Desenvolvendo os termos (aqui uso a distributiva nos naturais e a comutatividade/associatividade em \mathbb{N}):
p(r+t)+q(s+u)=pr+pt+qs+qu,
p(s+u)+q(r+t)=ps+pu+qr+qt.
Portanto
a\cdot(b+c)=\bigl[(\,pr+pt+qs+qu,\;ps+pu+qr+qt\,)\bigr].

Passo 5

Agora calcule o lado direito separadamente. Primeiro a\cdot b e a\cdot c:
a\cdot b = [(pr+qs,\;ps+qr)],
a\cdot c = [(pt+qu,\;pu+qt)].
Somando as duas classes (usando a definição da soma em \mathbb{Z}):
a\cdot b + a\cdot c = \bigl[(\,pr+qs+pt+qu,\;ps+qr+pu+qt\,)\bigr].
Reordenando os somandos (permitido em \mathbb{N} pela comutatividade/associatividade) obtemos
a\cdot b + a\cdot c = \bigl[(\,pr+pt+qs+qu,\;ps+pu+qr+qt\,)\bigr].

Passo 6

Compare o que achamos em

Passo 7

a\cdot(b+c)=\bigl[(\,pr+pt+qs+qu,\;ps+pu+qr+qt\,)\bigr]=a\cdot b + a\cdot c.
Isto prova a distributiva para os representantes escolhidos. Como a,b,c eram inteiros arbitrários (escolhidos via representantes quaisquer), concluímos que a identidade vale para todos os inteiros. Observação final rápida: a única propriedade dos naturais que usamos explicitamente foi a distributiva em \mathbb{N} (e associatividade/comutatividade para arranjar somas), e a construção das operações em \mathbb{Z} garante que o argumento é legítimo.

Resposta

\forall a,b,c\in\mathbb{Z},\qquad a(b+c)=ab+ac

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